每天一道数学题（2021-07-01）

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该博客探讨了一种平面映射f，它将直线映射为点，并证明了存在唯一点P，对所有过P的直线，f(l)均为P。通过构造和分析特定点集的圆，证明了所有点的映射圆都有公共点K，即所需点P，且此点的唯一性也得到了论证。

题目：

设一映射 $f$ 将平面上每一直线皆映射成其上一点，并且满足：对于平面上任意一点 $X$ 和过这点的任意三条直线 $l_1,l_2,l_3$ ，都存在过点 $X,f(l_1),f(l_2),f(l_3)$ 的圆.

证明：平面上存在唯一的一个点 $P$ ，满足对一切过点 $P$ 的直线 $l$ ，均有 $f (l) = P$ .

解答：

依题意，容易得出对于每个点 $X$ ，存在一个过点 $X$ 的圆 $g (X)$ ，使得对一切过点 $X$ 的直线 $l$ ， $f (l)$ 均落在此圆上.（对于点 $X$ 而言，如果有至少两条直线过 $X$ 且在 $f$ 下的像不为 $X$ ，则圆 $g (X)$ 的选取是唯一的，如果仅有一条直线 $l$ 过 $X$ 且在 $f$ 下的像不为 $X$ ，约定选取以 $X, f (l)$ 为直径的圆为 $g (X)$ ，如果这样的直线不存在，则问题已经解决）

我们将证明：对于平面上的所有点，其在映射 $g$ 下的像有一公共点 $K$ ，而且这就是我们所要求的 $P$ ，让我们从三个点的情形开始，考虑如下的构型：平面上不共线的三点 $A, B, C$ 满足 $A, B, C, f (A B), f (B C), f (C A)$ 互不相同，则容易证明 $g (A), g (B), g (C)$ 三个圆有公共点 $K$ . 但我们还不能将这一结论推广到平面上任意点的情况，因为有这样一种恼人的情形需要处理： $A, B, C, f (A B), f (B C), f (C A)$ 未必是互不相同的。

为此，考虑平面上的一个60×60的格点点阵 $A\mathcal{A}$ ，它的横线、纵线、斜线不超过120条，这些直线在 $f$ 下的像集也就至多包含360个点，从而点阵中至少还有个3240点不是上述的直线中任意一条在 $f$ 下的像，其中必然包含一个3×3的格点点阵，其中任两个点之间的连线在 $f$ 下的像不是这两个点之一，于是，这个对格点点阵中的一切点，其在映射 $g$ 中的像是经过同一个点 $K$ ，而对于平面上这个格点点阵之外的任意一点 $X$ ，由于圆 $g (X)$ 与格点点阵至多有6个交点，从剩下的点中选取两点 $U, V$ ，则 $f (X U), f (X V)$ 不能为 $U, V$ ，因为他们不在 $g (X)$ 中，也不能都为 $X$ ，否则 $X$ 同时在 $g (U), g (V)$ 上，但这两个圆已经有了交点 $K$ 和交点 $f (U V)$ ，而又因为这两个圆与直线 $U V$ 有三个交点，所以不能是同一个圆，这样就出现了矛盾. 因此，不妨设 $f (X U)$ 不为 $X$ ，同样从格点点阵中选取 $V, W$ 可以得到 $f (X W)$ 不为 $X$ ，对 $X, U, W$ （或 $X, U, V$ ）应用前一段的推导，知 $g (X)$ 也是过点 $K$ 的。

现在，既然对平面上的一切点 $X$ 均有 $K∈g(X)K\in g(X)$ ，那么对过点 $K$ 的直线 $l$ ， $f(l)≠Kf(l)\neq K$ 将导致对一切 $Y∈lY\in l$ 有 $Y,K,f(l)∈g(Y)Y,K,f(l)\in g(Y)$ ，这是不可能的，所以只能有 $f (l) = K$ ，从而 $K$ 就是满足要求的点 $P$ ；另一方面，如果有点 $P_1,P_2$ 满足要求，考虑 $f(P_1P_2)$ 立即得出 $P_1=P_2$ ，从而满足条件的点是唯一的。