博客详细解析了一道几何题目，涉及三角形内切圆、外接圆与辅助线的构造。通过证明两个相似三角形，得出点M和I在△PQR中是一对等角共轭点，展示了平面几何中的等角共轭点性质。
题目：
如图， △ABC\triangle ABC△ABC 的内切圆 ⊙I\odot I⊙I 与三边分别交于点 D,E,FD,E,FD,E,F，直线 EFEFEF 与三角形的外接圆 ⊙O\odot O⊙O 交于点 P,QP,QP,Q，点 MMM 是边 BCBCBC 的中点，点 RRR 是 BC⌢\mathop{BC}\limits^{\frown}BC⌢ 的中点，证明：点 M,IM,IM,I 是 △PQR\triangle PQR△PQR 中的一对等角共轭点。
解答：
辅助线如图所示，取BAC⌢\mathop{BAC}\limits^{\frown}BAC⌢之中点NNN，接 N,QN,QN,Q 与 BCBCBC 交于点 KKK，只需注意到 (A,L,I,E,Q)(A,L,I,E,Q)(A,L,I,E,Q) 与 (N,M,R,C,K)(N,M,R,C,K)(N,M,R,C,K) 实为相似形，故而 ∠PQI=∠MKR=∠MQR\angle PQI=\angle MKR=\angle MQR∠PQI=∠MKR=∠MQR，另一侧同理，因此点 M,IM,IM,I 是 △PQR\triangle PQR△PQR 中的一对等角共轭点。
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