最长公共子序列 LCS

题目： http://acm.nyist.net/JudgeOnline/problem.php?pid=36

介绍一下定义先~

子序列：一个序列的子序列，就是该序列删掉若干个(0~len-1)元素后的序列

公共子序列：一个序列c如果既是序列a删去若干元素后的结果，又是序列b删去若干元素后的结果，则：c是a、b两个序列的公共子序列

最长公共子序列：c是a和b的公共子序列中最长的一个序列（可能有多个!）

LCS问题具有最优子结构特性：

　　第一个版本是最原始的LCS，空间复杂度为O(len1*len2)，可以在O(len1+len2)时间复杂度内构造出LCS的解 

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <string>

using namespace std;

char s1[1005], s2[1005];
int dp[1005][1005];

void print_LCS(int i, int j)
{
    if(i==0 || j==0)    return;
    
    if(s1[i-1]==s2[j-1]) {
        print_LCS(i-1, j-1);
        printf("%c", s1[i-1]);
    } else if(dp[i][j-1] > dp[i-1][j])    print_LCS(i, j-1);
    else    print_LCS(i-1, j);
}

int main ()
{
    int n;
    scanf("%d", &n);
    while(n--) {
        scanf("%s%s", s1, s2);
        int len1 = strlen(s1);
        int len2 = strlen(s2);
        
        // 最原始的 LCS，空间复杂度O(n^2) 
        for(int i=1; i<=len1; i++) {
            for(int j=1; j<=len2; j++) {
                if(s1[i-1]==s2[j-1])    dp[i][j] = dp[i-1][j-1]+1;
                else    dp[i][j] = max(dp[i][j-1], dp[i-1][j]);
            }
        }
        printf("%d\n", dp[len1][len2]);
        
        // 打印 LCS 
//        print_LCS(len1, len2);
//        printf("\n");
    }
        
    return 0;
}

 

　　第二个版本是优化后的LCS，空间复杂度可以达到O(min(len1,len2))，但是由于信息不足，无法构造出LCS的解

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <string>

using namespace std;

char s1[1005], s2[1005];
int dp[1005];

int main ()
{
    int n;
    scanf("%d", &n);
    while(n--) {
        scanf("%s%s", s1, s2);
        int len1 = strlen(s1);
        int len2 = strlen(s2);
        
        // 空间复杂度可以降为O(min(len1,len2))
        int cur, prev;
        for(int i=1; i<=len1; i++) {
            prev = 0;
            for(int j=1; j<=len2; j++) {
                cur = dp[j];
                if(s1[i-1]==s2[j-1]) {
                    dp[j] = prev+1;
                }
                else    dp[j] = max(dp[j-1], dp[j]);
                prev = cur;
            }
        }
        printf("%d\n", dp[len2]);
        memset(dp, 0, sizeof(dp)); // 不像之前的版本，这里要清零 
    }
        
    return 0;
}