『经典DP入门』LCS 最长公共子序列问题

最长公共子序列问题（Longest Common Subsequence problem）：给定两个序列X = <x1，x2，...，xm>和Y = <y1，y2，...，yn>，求X和Y长度最长的公共子序列。

注：本文的大多数概念及求解方法来自《算法导论》

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使用动态规划求解LCS问题过程：

一、刻画最长公共子序列的特征

LCS的最优子结构定理：设X={x1，x2，……，xm}和Y={y1，y2，……，yn}为两个序列，并设Z={z1、z2、……，zk}为X和Y的任意一个LCS，则：

        （1）如果xm=yn，那么zk=xm=yn，而且Zk-1是Xm-1和Yn-1的一个LCS。

　　 （2）如果xm≠yn，那么zk≠xm蕴含Z是是Xm-1和Yn的一个LCS。

　　 （3）如果xm≠yn，那么zk≠yn蕴含Z是是Xm和Yn-1的一个LCS。

这个定理也很好理解，有一些减而治之的思想，举个栗子：

从字符串的最后一位开始比较

1.对 X = "AGTGATG",Y = "GTTAG",则Z = "GTAG"，此时m = 7，n = 5，k = 4（从1开始）。

比较X和Y最后一位，x7 = y5，同时删去，Xm-1 = "AGTGAT"，Yn-1 = "GTTA"，Zk-1 = "GTA"。我们可以发现，Zk-1就是Xm-1和Yn-1的一个LCS。

2.对 X = "AGTGAT",Y = "GTTA",则Z = "GTA"，此时m = 6，n = 4，k = 3（从1开始）。

比较最后一位，x6 ≠ y4，z3 &