『经典DP入门』LCS 最长公共子序列问题

本文介绍了最长公共子序列(LCS)问题,通过《算法导论》中的概念和求解方法,阐述了LCS的最优子结构定理,并提供了递归解法和动态规划的解决方案,详细解释了动态规划计算LCS长度的过程。

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最长公共子序列问题(Longest Common Subsequence problem):给定两个序列X = <x1,x2,...,xm>和Y = <y1,y2,...,yn>,求X和Y长度最长的公共子序列。

注:本文的大多数概念及求解方法来自《算法导论》


使用动态规划求解LCS问题过程:

一、刻画最长公共子序列的特征

LCS的最优子结构定理:设X={x1,x2,……,xm}和Y={y1,y2,……,yn}为两个序列,并设Z={z1、z2、……,zk}为X和Y的任意一个LCS,则:

        (1)如果xm=yn,那么zk=xm=yn,而且Zk-1是Xm-1和Yn-1的一个LCS。

   (2)如果xm≠yn,那么zk≠xm蕴含Z是是Xm-1和Yn的一个LCS。

   (3)如果xm≠yn,那么zk≠yn蕴含Z是是Xm和Yn-1的一个LCS。

这个定理也很好理解,有一些减而治之的思想,举个栗子:

从字符串的最后一位开始比较

1.对 X = "AGTGATG",Y = "GTTAG",则Z = "GTAG",此时m = 7,n = 5,k = 4(从1开始)。

比较X和Y最后一位,x7 = y5,同时删去,Xm-1 = "AGTGAT",Yn-1 = "GTTA",Zk-1 = "GTA"。我们可以发现,Zk-1就是Xm-1和Yn-1的一个LCS。

2.对 X = "AGTGAT",Y = "GTTA",则Z = "GTA",此时m = 6,n = 4,k = 3(从1开始)。

比较最后一位,x6 ≠ y4,z3 &

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