求排列组合的两种方式模板

最新推荐文章于 2021-02-02 19:11:23 发布

A_Pathfinder

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分类专栏：模板数论文章标签：排列组合

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博客介绍了排列组合的基本概念，p(n,m)表示从n个不同元素中取m个元素按次序排列的排列数，C(n,m)表示不考虑次序的组合数。还介绍了求C(n,m)的两种方式，一是连乘m个整数商，二是利用二项式系数公式，后者更适用于多次询问。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

（图片都来源百度百科）

先说p(n,m),表示从n个不同元素中取出m个元素，并按次序排列的排列数，即字典序，组成的排列叫全排列。

若从n个不同元素中取出m个元素，不考虑次序，则称从n中取出m个组合，其组合数表示为C(n,m)=n!/m!*(n-m)!;

关于排列组合的性质用途太多了，下次再统一整理，这里只介绍求C(n,m)的两种方式

第一种：连乘m个整数商：

$\small C(n,m)=\frac{(n-m+1)*(n-m+2)*....*n}{1*2*....*m}=\frac{n-m+1}{m}*\frac{n-m+2}{m-1}*....*\frac{n}{1}$

对于m个连续的自然数(n-m+1),(n-m+2),...n,必定有一个数能被m整除，也必定能有一个被m-1整除，因此，在运算过程中，按分母从大到小，及时的进行分子分母相除运算；然后连成m个整商。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll work(int n,int m){
	if(m>n/2) m = n-m;
	ll a = 1,b = 1;
	for(int i=1;i<=m;i++){
		a*=n+1-i;
		b*=i;
		if(a%b==0) a/=b,b=1;
	}
	return a/b;
}
int main(){
	int n,m;
	scanf("%d %d",&n,&m);//49 6 
	printf("%lld\n",work(n,m));//13983816 
	return 0;
}

方法二：利用二项式系数公式：

$\small C(n,m)=C(i-1,j)+C(i-1,j-1)$

即c[i][0]=1,并且c[i][j] = c[i-1][j] + c[i-1][j-1]。

这个方法更加适用于多次询问，先离线计算出要问的范围，再直接查询问的n,m;

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll c[105][105];
void pp(){
	for(int i=0;i<102;i++) c[i][0]=1;
	
	for(int i=1;i<101;i++)
	for(int j=1;j<101;j++)
	c[i][j]=c[i-1][j] + c[i-1][j-1];
}
int main(){
    pp();
    int n,m;
    while(~scanf("%d %d",&n,&m) && (n||m)){//100 6
    	printf("C(%d,%d) = %lld",n,m,c[n][m]);//1192052400
	}
	return 0;
}