三分查找（转）

来源：https://blog.youkuaiyun.com/beiyouyu/article/details/7875480

一. 概念

在二分查找的基础上，在右区间（或左区间）再进行一次二分，这样的查找算法称为 三分查找，也就是三分法。

三分查找通常用来迅速确定最值。

二分查找所面向的搜索序列的要求是：具有单调性（不一定严格单调）；没有单调性的序列不是使用二分查找。

与二分查找不同的是，三分法所面向的搜索序列的要求是： 序列为一个凸性函数。通俗来讲，就是该序列必须有一个最大值（或最小值），在最大值（最小值）的左侧序列，必须满足不严格单调递增（递减），右侧序列必须满足不严格单调递减（递增）。如下图，表示一个有最大值的凸性函数：

二、算法过程

（1）、与二分法类似，先取整个区间的中间值mid。

mid = (left + right) / 2;
    

（2）、再取右侧区间的中间值midmid，从而把区间分为三个小区间。

midmid = (mid + right) / 2;
    

（3）、我们mid比midmid更靠近最值，我们就舍弃右区间，否则我们舍弃左区间？。

比较mid与midmid谁最靠近最值，只需要确定mid所在的函数值与midmid所在的函数值的大小。当最值为最大值时，mid与midmid中较大的那个自然更为靠近最值。最值为最小值时同理。

    

      

       

      
      

       

        if (cal(mid) > cal(midmid))
       
      

      

       

      
      

       

            right = midmid;
       
      

      

       

      
      

       

        else
       
      

      

       

      
      

       

            left = mid;
       
      
    

（4）、重复（1）（2）（3）直至找到最值。

算法的正确性：

1、mid与midmid在最值的同一侧。由于凸性函数在最大值（最小值）任意一侧都具有单调性，因此，mid与midmid中，更大（小）的那个 数自然更为靠近最值。此时，我们远离最值的那个区间不可能包含最值，因此可以舍弃。

2、 mid与midmid在最值的两侧。由于最值在中间的一个区间，因此我们舍弃一个区间后，并不会影响到最值

三、具体实现 

    

      

       

      
      

       

        const 
        double EPS = 
        1e-10;
       
      

      

       

      
      

       
 
       
      

      

       

      
      

       

        double calc(double x)
       
      

      

       

      
      

       

        {
       
      

      

       

      
      

       
    
        // f(x) = -(x-3)^2 + 2;
       
      

      

       

      
      

       
    
        return -(x
        -3.0)*(x
        -3.0) + 
        2;
       
      

      

       

      
      

       

        }
       
      

      

       

      
      

       
 
       
      

      

       

      
      

       

        double ternarySearch(double low, double high)
       
      

      

       

      
      

       

        {
       
      

      

       

      
      

       
    
        double mid, midmid;
       
      

      

       

      
      

       
    
        while (low + EPS < high)
       
      

      

       

      
      

       

            {
       
      

      

       

      
      

       

                mid = (low + high) / 
        2;
       
      

      

       

      
      

       

                midmid = (mid + high) / 
        2;
       
      

      

       

      
      

       
        
        double mid_value = calc(mid);
       
      

      

       

      
      

       
        
        double midmid_value = calc(midmid);
       
      

      

       

      
      

       
        
        if (mid_value > midmid_value)
       
      

      

       

      
      

       

                    high = midmid;
       
      

      

       

      
      

       
        
        else
       
      

      

       

      
      

       

                    low = mid;
       
      

      

       

      
      

       

            }
       
      

      

       

      
      

       
    
        return low;
       
      

      

       

      
      

       

        }
       
      
    

调用ternarySearch(0, 6)，返回的结果为3.0000