状态压缩DP+枚举子集 BZOJ2073 过桥

最新推荐文章于 2021-06-20 00:15:36 发布

原创最新推荐文章于 2021-06-20 00:15:36 发布 · 536 阅读

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本文介绍了一种使用状态压缩动态规划算法解决特定过桥问题的方法。问题涉及一群人在受重量限制的情况下尽可能快地过桥，需要找到最优的分组方式以减少总过桥时间。文章详细解释了如何通过二进制位表示分组，并给出了具体的实现代码。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

今天更状态压缩的一支，要枚举子集的DP算法；

题目：
一只队伍在爬山时碰到了雪崩 , 他们在逃跑时遇到了一座桥 , 他们要尽快的过桥 . 桥已经很旧了 , 所以它不能承受太重的东西 . 任何时候队伍在桥上的人都不能超过一定的限制 . 所以这只队伍过桥时只能分批过 , 当一组全部过去时 , 下一组才能接着过 . 队伍里每个人过桥都需要特定的时间 , 当一批队员过桥时时间应该算走得最慢的那一个 , 每个人也有特定的重量 , 我们想知道如何分批过桥能使总时间最少 .
Input
第一行两个数 : w —— 桥能承受的最大重量 (100 <= w <= 400) 和 n —— 队员总数 (1 <= n <= 16). 接下来 n 行每行两个数分别表示 : t – 该队员过桥所需时间 (1 <= t <= 50) 和 w – 该队员的重量 (10 <= w <= 100).
Output
输出一个数表示最少的过桥时间 .

样例输入：

100 3

24 60

10 40

18 50

样例输出 42

这道题目要先枚举出人员的分组数，再对每组进行动态规划算出最短时间。分组用16位（最多16个队员）的2进制来表示，比如说：10110 5个位，3名队员编号分别为2，3，5 为一组，n位上的0表示编号为n的队员不在这组，1则表示在本组；

重要的是如何列举出所有的分组情况：//给出代码

for(int i = 1; i < p[n]; ++ i)
for(int j = i; j <= n ; ++ j)
if(i & p[j-1])
ztime[i] = max(time[j],ztime[i]), zweight[i] += w[j];

设p[n]为2的n次方，即枚举的方案组数；ztime[]是这个队伍中走最长时间的队员的时间；zweight[]是该队伍总的重量；

i & p[j-1] 即在判断第j号队员是否在i表示的组成员中，非0—在，0—不在。

之后再对分组进行动态规划：

for(int i = 1; i < p[n]; ++ i)
   for(int j=1,u=0;j && u!=j; j = i & (j-1) )
      if(zweight[j] <= W)
        u=i^j,dp[i] = min(dp[i], dp[u]+ztime[j]);

这里说一下：1) i&j-1 表示除了该队伍最后一个队员的新的队伍（拆分枚举）

2）min（dp[i],dp[u]+ztime[j]）表示没组这支队伍i方案的时间，和组了这支队伍的时间（这支队伍的时间+剩下人的时间）

3）已经给出的是优化型，下面给出原型代码

for(int i = 1; i < p[n]; ++ i)
   for(int j=1;j ; j = i & (j-1) )
      if(zweight[j] <= W)
        dp[i] = min(dp[i], dp[i^j]+ztime[j]);

大家可以思考下有什么区别（提示：过滤掉重复的队伍）

下面给出代码：

分割线

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN = 1 << 16;//2的16次方，最大方案 
int dp[MAXN],zweight[MAXN],ztime[MAXN];//dp数组，方案重量，方案时间 
int main(){
	int W,n; 
	cin>>W>>n;
	int p[n+1], t[n+1], w[n+1];
	memset(p,1,sizeof(p));//p的初始化 
	for(int i = 1;i <= n; ++ i)
	cin>>t[i]>>w[i],p[i] = 1 << i;//i队员的编号位置 
	for(int i = 1; i < p[n]; ++ i)//总方案 
	   for(int j = 1; j <= n; ++ j)//总人数 
	      if(i & p[j-1])//i队员在j队伍中 
	        ztime[i] = max(t[j], ztime[i]),zweight[i] += w[j];//队伍的时间和重量 
    memset(dp,0x3f,sizeof(dp)); dp[0] = 0;//初始化dp 
	for(int i = 1; i < p[n]; ++ i)
	   for(int j = i, u = 0; j && (j != u); j = i&(j-1))//上面详细说了，这里略过 
	      if(zweight[j] <= W)
	        u=i^j,dp[i] = min(dp[i], dp[u]+ztime[j]);
	cout<<dp[p[n]-1]<<endl;
	return 0;
}

最后：

programming is the most fun you can have with your clothes on.