【剑指Offer】斐波那契数列——两种解法

题目描述：

给定整数N，返回斐波那契数列的第N项。

n	0	-1	-2	-3	-4	-5	-6	-7	-8	…
Fib(n)	0	1	-1	2	-3	5	-8	13	-21	…

解题思路

首先是O(2^n)的解法，除第一项和第二项以外，如果N为正整数，则F(n)=F(n-2)+F(n-1)，如果N为负整数，则F(n) = F(n-2)-F(n-1)。于是暴力递归的方法如下：

    /**
     * 使用递归的方法
     *
     * @param n           要计算的数字
     * @param isPositive： 是否是正数，如果是，则为true, 否则为false
     * @return
     */
    private static BigInteger fib_1(int n, boolean isPositive) {
        if (n == 0) {
            return BigInteger.valueOf(0);
        } else if (n == 1 || n == -1) {
            return BigInteger.valueOf(1);
        } else if (isPositive) {
            return fib_1(n - 2, isPositive).add(fib_1(n - 1, isPositive));
        } else {
            return fib_1(n + 2, isPositive).subtract(fib_1(n + 1, isPositive));
        }
    }

使用暴力递归的方法没有记录每个中间数值，因此有很多重复计算的问题，所以，我们考虑使用动态规划的方法，记录每个中间数值，时间复杂度为O(N)。代码如下：

    /**
     * 使用动态规划的方法
     *
     * @param n:                要计算的数字
     * @param isPositive：是否为正整数
     * @return
     */
    private static BigInteger fib_2(int n, boolean isPositive) {
        if (n == 0) {
            return BigInteger.valueOf(0);
        }
        if (n == 1 || n == -1) {
            return BigInteger.valueOf(1);
        }
        // 使用Math的abs函数，计算n的绝对值，将其作为构建动态规划数组的大小
        int size = Math.abs(n);
        // 创建动态规划数组,记录每个阶段的数值
        BigInteger[] dp = new BigInteger[size + 1];
        dp[0] = BigInteger.valueOf(0);// 第一个位置为0
        dp[1] = BigInteger.valueOf(1);// 第二个位置为1
        for (int i = 2; i <= size; i++) {
            if (isPositive) {
                dp[i] = dp[i - 2].add(dp[i - 1]);
            } else {
                dp[i] = dp[i - 2].subtract(dp[i - 1]);
            }
        }
        return dp[size];
    }

当然，还有其他时间复杂度更低的方法，比如使用矩阵乘法的方式，可以做到时间复杂度为O(logN)。有兴趣的读者可以自行研究。