Cantor对角线法则证明实数集为不可数及其扩展与困惑（未完）

AQI_0

已于 2023-09-15 09:55:43 修改

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文章标签：拓扑学

于 2023-09-14 17:51:52 首次发布

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文章通过实数集与区间(0,1)的对等关系，利用对角线法证明了实数集的不可数性。同时讨论了正整数集的类似问题，指出对角线法的推广性质。文中还涉及了基数定义和实数集的构成（有理数与无理数）。

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证明：实数集是不可数集

前置知识：基数的定义，对等

利用反正法进行证明

证：实数集R对等于（0,1）（这里是闭区间也可以开闭区间之间也是对等的，R~（0,1）读者可构造函数自证），则欲证实数集为不可数集，即证（0,1）为不可数集。

假设（0,1）是可数的，那我们将其中的元素列出来（0,1）=S=｛ $s_{1},s_{2},s_{3},s_{4}...,s_{n},...$ ｝共有无穷可列个元素，其中的每个元素 $s_{i}$ ，我们都可以用唯一一个十进制无穷小数的方式表示（此处证明见《高等代数（王萼芳、石生明）》课本第一章）：

$s_{i}$ = $0.a^{(1)}_{i}a^{(2)}_{i}a^{(3)}_{i}a^{(4)}_{i}a^{(5)}_{i}...a^{(j)}_{i}...$

其中 $a^{(j)}$ 表示小数点后第j位的取值，且 $a^{(j)}$ =0,1,2,3,4,5,6,7,8,9。

将｛ $s_{1},s_{2},s_{3},s_{4}...,s_{n},...$ ｝中元素全部列出：

$s_{1}$ = $0.a^{(1)}_{1}a^{(2)}_{1}a^{(3)}_{1}a^{(4)}_{1}a^{(5)}_{1}...a^{(j)}_{1}...$

$s_{2}$ = $0.a^{(1)}_{2}a^{(2)}_{2}a^{(3)}_{2}a^{(4)}_{2}a^{(5)}_{2}...a^{(j)}_{2}...$

$s_{3}$ = $0.a^{(1)}_{3}a^{(2)}_{3}a^{(3)}_{3}a^{(4)}_{3}a^{(5)}_{3}...a^{(j)}_{3}...$

$s_{4}$ = $0.a^{(1)}_{4}a^{(2)}_{4}a^{(3)}_{4}a^{(4)}_{4}a^{(5)}_{4}...a^{(j)}_{4}...$

...

$s_{n}$ = $0.a^{(1)}_{n}a^{(2)}_{n}a^{(3)}_{n}a^{(4)}_{n}a^{(5)}_{n}...a^{(j)}_{n}...$

...

现在构造一个新的可用十进制无穷小数的方式表示的数 $t$ = $0.b^{(1)}b^{(2)}b^{(3)}b^{(4)}b^{(5)}...b^{(j)}...$ 其中 $b^{(j)}=\left\{\begin{matrix} a^{(j)}_{j}+1\ \quad a^{(j)}_{j}\neq 9,\\ 0 \quad\quad\quad\quad a^{(j)}_{j}=9 \end{matrix}\right .$

即保证列出来的所有元素都有至少有一位与t不同，即t与所有列出的元素均不相同。为便于读者理解举个例子（省略了0.）：

这样我们就得到了一个新的数字，显然t $\in$ （0,1）然而 $t\neq s_{i},i=1,2,3...$ '即 $t \notin S$ =（0,1）产生矛盾，故（0,1）是不可数集，因此也证明 R 也是不可数集。

然而这个证明方法有个令博主困惑的地方，矛盾的出现是因为自指还是因为不可数。我们不妨对正整数集进行同样的操作。将正整数集中的元素列出来S=｛ $s_{1},s_{2},s_{3},s_{4}...,s_{n},...$ ｝共有无穷可列个元素，其中的每个元素 $s_{i}$ ，我们都可表示为如下形式：

$s_{1}$ = $r^{(1)}_{1}r^{(2)}_{1}r^{(3)}_{1}r^{(4)}_{1}r^{(5)}_{1}...r^{(j)}_{1}...$

其中 $r^{(1)}$ 表示个位后的取值，其中 $r^{(2)}$ 表示十位后的取值，其中 $r^{(3)}$ 表示百位后的取值，之后补0，以此类推。且 $r^{(j)}$ =0,1,2,3,4,5,6,7,8,9。如25表示为5200000...，520表示为0250000...

同样将｛ $s_{1},s_{2},s_{3},s_{4}...,s_{n},...$ ｝中元素全部列出：

$s_{1}$ = $r^{(1)}_{1}r^{(2)}_{1}r^{(3)}_{1}r^{(4)}_{1}r^{(5)}_{1}...r^{(j)}_{1}...$

$s_{2}$ = $r^{(1)}_{2}r^{(2)}_{2}r^{(3)}_{2}r^{(4)}_{2}r^{(5)}_{2}...r^{(j)}_{2}...$

$s_{3}$ = $r^{(1)}_{3}r^{(2)}_{3}r^{(3)}_{3}r^{(4)}_{3}r^{(5)}_{3}...r^{(j)}_{3}...$

$s_{4}$ = $r^{(1)}_{4}r^{(2)}_{4}r^{(3)}_{4}r^{(4)}_{4}r^{(5)}_{4}...r^{(j)}_{4}...$

...

$s_{n}$ = $r^{(1)}_{n}r^{(2)}_{n}r^{(3)}_{n}r^{(4)}_{n}r^{(5)}_{n}...r^{(j)}_{n}...$

同样构造一个数 $q=0.b^{(1)}b^{(2)}b^{(3)}b^{(4)}b^{(5)}...b^{(j)}...$ 其中

$b^{(j)}=\left\{\begin{matrix} r^{(j)}_{j}+1\ \quad r^{(j)}_{j}\neq 9,\\ 0 \quad\quad\quad\quad r^{(j)}_{j}=9 \end{matrix}\right .$

也会保证q与所有列出的元素均不相同

显然t $\in$ （0,1）然而 $q\neq s_{i},i=1,2,3...$ '即 $q\notin S$ =（0,1）产生矛盾那么我们是不是也可以认为正整数集是一个不可数集。着显然与已知定理也是矛盾的。

对角线法得到的数是一个不在之前假定的列表里面的数，而实数和自然数都无穷多的，所以总能找到一个新的数不属于原来的列表，这样对角线法其实更像是一种从有限到无限的推广。或者说按照这种方式构造出的一个不在原所列元素集合中的新的数是找不出来的，因为会不停的要确定后一位是什么，以至于永远在找这个数。

那么，如果实数可以用十（多）进制表示出来一定是可列的吗？

再者应当思考对于不可数的定义究竟是什么，对于实数的定义又是什么。然而到多数材料没有直接给出不可数的直接定义，在《实变函数与泛函分析基础（程其襄）》中“不是可数集合的无限集我们称为不可数集合”并有定理：全体实数所成集合R是一个不可数集合。如果直接将实数集与不可数集的定义联系起来那便确实可以心安理得的使用。

然后是一些关于R作为不可数集的扩展：R由有理数集Q与无理数集组成。并且可以证明