bzoj1207.雷涛的小猫

最新推荐文章于 2021-10-27 21:34:19 发布

原创最新推荐文章于 2021-10-27 21:34:19 发布 · 460 阅读

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探讨了在一个包含5000棵柿子树的果园中，如何通过优化算法从树顶吃到地面的过程中获取最多的柿子。初始算法的时间复杂度过高，通过减少状态数和优化转移过程将复杂度降至O(n^2)。

有 n ( 5000 ) 棵柿子树，每棵上面都有若干柿子且每棵树高度均为 H ( 5000 )，现在要从树顶开始吃柿子，每次可以使自己的高度下降 1 ，但是所在的树没变，或者换到任意一棵树上，但是高度会降低 delta，问到达地面 ( 高度为 0 ) 时，最多能吃多少柿子

读题之后，首先想到一个最朴素的DF：设 F[ i ][ j ] 表示当高度为 j 时，在第 i 棵树上能吃到的最大的柿子数。转移是显然的：F[ i ][ j ] = max(F[ i ][ j + 1 ], max(F[ k ][ j + delta ])) + h[ i ][ j ] (1 <= k <= n)，其中 h[ i ] [ j ] 表示第 i 棵树上高度为 j 的柿子有多少个，在读入的时候统计一下就行了。总时间复杂度为 O( n ^ 3 ) = 状态 n ^ 2 + 转移 O( n )。

但是由于 n = 5000， h = 5000，所以O( n ^ 3 ) 的复杂度太高。那么如何优化呢？其实只需要记一个 g[ i ] 数组，表示在当前高度第 i 棵树上的能吃到的最多柿子数。每次更新一下 g[i] = max(g[ i ], F[ j - delta ])，比较一下是应该从当前这棵下来，还是从别的树上跳过来。这样状态数还可以降到 O( n )：F[ j ] 表示到高度为 j 的时候能得到的最大柿子数。总时间复杂度 O( n ^ 2 )。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int MAX_N = 2005;

int n, H, del;
int h[MAX_N][MAX_N], f[MAX_N], g[MAX_N];

void init()
{
	scanf("%d%d%d", &n, &H, &del);
	for(int i = 1; i <= n; i ++){
		int sum; scanf("%d", &sum);
		for(int j = 1; j <= sum; j ++){
			int x; scanf("%d", &x);
			h[i][x] ++;
		}
	}
}

void doit()
{
	memset(f, 0, sizeof(f));
	for(int j = H; j >= 0; j --){
		int p;
		if(j + del <= H) p = f[j + del];
		else p = 0;
		for(int i = 1; i <= n; i ++)
			g[i] = max(g[i], p) + h[i][j],
			f[j] = max(f[j], g[i]);		 
	}
	printf("%d\n", f[0]);
}

int main()
{
	init(); doit();
	return 0;	
}