POJ1742.Coins(背包DP && 男人八题)

最新推荐文章于 2025-07-27 20:40:58 发布

原创最新推荐文章于 2025-07-27 20:40:58 发布 · 455 阅读

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本文探讨了一道经典的动态规划题目——硬币组合问题。文章详细介绍了从基本的O(n*m*sum(Ci))算法出发，逐步优化到更高效的空间优化算法的过程，并附带完整的C++代码实现。

有 n 种硬币，面值为 Ai ( 1 <= i <= n )，每种硬币分别有 Ci ( 1 <= i <= n ) 个，求可以中这些硬币搭配出多少大于 1 且小于 m 的钱数。

本来是在找网络流的题做，一位同学推荐这道题，然而思考了半天我才发现！这位仁兄的题号写错了！（我说怎么这题越看越像DP呢...）然后才知道这是LTC的男人8题之一。

言归正传，读题后首先想到的算法就是 O (n * m * sum( Ci )) 的最基本的DP：

for( int i = 1; i <= n; i ++ ) 
   for(int j = 0; j <= m; j ++)
     for(int k = 1; k <= c[ i ] && k * a[ i ] <= j; k ++)
       dp[i][j] = dp[i - 1][j - a[i] * k];

但是我们马上就会发现TLE了。如何优化呢，观察上一段代码，发现状态很正常，T在了第三层状态转移，所以我们需要优化转移。

dp[i][j] // 代表前 i 种硬币组成 j 元钱时第 i 种硬币还剩多少枚，那么
dp[i][j] = c[i] //当 dp[i-1][j] >= 0时，也就是说不用第 i 种钱就能凑够 j 元
           = -1 //  当 a[i] > j || dp[i][j-a[i]] < 0时，就是说第 i 种的面值大或没得可用
           = dp[i][j-a[i]] - 1;

这样在时间上就没有问题了，但是作为 LTC 男人 8 题中的一道，它当然不会这么轻易的让你搞出来！既然时间不能挡住你，就让空间来吧！于是你发现程序MLE了。我们就需要像节省空间开销，于是程序就成了这样：

#include <cstdio>
#include <cstring>

using namespace std;

const int MAX_N = 105;
const int MAX_M = 100005;

int n, m, a[MAX_N], c[MAX_N];
int f[MAX_M];

void init()
{
    for(int i = 1; i <= n; i ++) scanf("%d", &a[i]);
    for(int i = 1; i <= n; i ++) scanf("%d", &c[i]);
}

void doit()
{
    memset(f, -1, sizeof(f));
    f[0] = 0;
    for(int i = 1; i <= n; i ++)
        for(int j = 0; j <= m; j ++){
    <span style="white-space:pre">	</span>    if(f[j] >= 0) f[j] = c[i];
            else if(a[i] > j || f[j - a[i]] < 0) f[j] = -1;
            else f[j] = f[j - a[i]] - 1;
        }
    int ans = 0;
    for(int i = 1; i <= m; i ++) 
        if(f[i] >= 0) ans ++;
    printf("%d\n", ans);
}

int main()
{
    while(scanf("%d%d", &n, &m) != EOF){
        if(n == 0 && m == 0) break;
<span style="white-space:pre">	</span>init(); doit();
    }
    return 0；
}