数学基础--最大后验概率估计(MAP)

想要了解最大后验概率估计，需要学会贝叶斯定理以及极大似然估计

贝叶斯定理--用来描述两个条件概率之间的关系。

   - P（A）表示事件A发生的概率，称为先验分布(Prior)。
   - P（B）表示事件B发生的概率，称为证据(Evidence)。
   - P（A | B）表示事件B已经发生的情况下，事件A发生的概率，称为后验分布(Posterior)。
   - P（B | A）表示事件A已经发生的情况下，事件B发生的概率，称为似然(Likelihood)。

 极大似然估计(MLE)

        又称最大似然估计，把待估计的参数看作是确定性的量（但其取值未知），其最佳估计就是使得产生已观察到的样本的概率为最大的那个值。简单来讲，就是给定模型，然后通过收集数据，求该模型的参数。

        例如，投10次特殊的硬币（给定模型），出现6次正面4次反面（请注意，这里10次结果有顺序，后面所有的投硬币结果，都有顺序）（收集数据），现在要估计投这枚硬币出现正面的概率（求参数）。

实验中获得数据 = {反、正、正、正、正、反、反、正、反、正}

其似然函数为： (满足二项分布)

最大似然估计的目的是使似然函数取最大值的作为的估计。

常用的方法是令 

解得=0.6

最大后验概率估计(MAP)

        贝叶斯学派学者认为模型参数为一个已知分布的随机变量，而的估计即为参数在其分布上的最大值。

        利用贝叶斯定理则是希望通过已知的随机变量的先验分布，结合证据和似然更新得到接近其真实分布的后验分布，再通过最大化后验分布的作为的估计值，这种方法被称为最大后验概率估计。

最大后验概率估计的目标为

        同样是刚才的实验，对于随机变量我们对其有一个先验的认识，其满足∼N(0.5,1)的正态分布。由贝叶斯公式可知：，所以原目标可转化为：

那么， 

随着数据样本的增多，MAP会慢慢向MLE靠拢

最后总结一下就是：最大后验的实质就是对参数的每一个可能的取值，都进行极大似然估计，并根据这个取值可能性的大小，设置极大似然估计的权重，然后选择其中最大的一个，作为最大后验估计的结果。

 参考文献：贝叶斯定理与最大似然估计和最大后验概率估计 - 知乎 (zhihu.com)

                   https://blog.youkuaiyun.com/fq_wallow/article/details/104383057