线性筛求积性函数

AC__dream

于 2022-07-30 11:28:11 发布

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分类专栏：数学知识文章标签：算法

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本文介绍了一种高效的算法，如何通过线性筛预处理得到一个整数的所有正因数个数，从而在查询时实现O(1)复杂度。这对于处理大量查询的场景非常实用，避免了暴力求解导致的时间复杂度过高问题。适合IT专业人士了解积性函数和数据结构优化技巧。

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样例输入：

样例输出：

分析：我们可以对q个询问进行暴力求解，每次询问的复杂度就是O(n^0.5)，那么总的复杂度就是q*n^0.5，大概是10^8.5，估计过不了，况且如果对于别的题，询问组数再多一些，那么就铁定过不了了。

设f[n]表示n的所有正因数的个数，那么f[n]是一个积性函数，如果不知道积性函数或者不知道为什么f[n]是一个积性函数的话可以看一下：积性函数_AC__dream的博客-优快云博客

我们可以通过线性筛直接O(n)预处理出来所有的f[n]，直接对于每组询问O(1)查询即可。

过程由于在之前积性函数那篇博客中已经讲解的非常明白了，这里就不赘述了

下面是代码：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<queue>
using namespace std;
const int N=1e7+10;
bool vis[N];
int prime[N],tt,f[N];
int cnt[N];//cnt[i]记录i的最小质因子的次数 
void init()
{
	f[1]=1;
	for(int i=2;i<N;i++)
	{
		if(!vis[i])
		{
			prime[++tt]=i;
			f[i]=2;
			cnt[i]=1;
		}
		for(int j=1;j<=tt&&i*prime[j]<N;j++)
		{
			vis[i*prime[j]]=true;
			if(i%prime[j]==0)//prime[j]是i的最小质因子 
			{
				cnt[i*prime[j]]=cnt[i]+1;
				f[i*prime[j]]=f[i]/(1+cnt[i])*(2+cnt[i]);
				break;
			}
			cnt[i*prime[j]]=1;
			f[i*prime[j]]=f[i]*f[prime[j]];
		}
	}
}
int main()
{
	int q;
	init();
	cin>>q;
	while(q--)
	{
		int n;
		scanf("%d",&n);
		printf("%d\n",f[n]);
	}
	return 0;
}