facsum （线性筛积性函数）

最新推荐文章于 2024-02-19 17:51:32 发布

w4149

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分类专栏： —————练习赛————— —————模板————— —————数论————— 积性函数文章标签：线性筛积性函数数论

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博客介绍了如何利用线性筛解决积性函数facsum的问题。通过分析式子的结构，利用积性的性质，将问题转化为计算特定形式的函数值。在处理if(i % prime[j] == 0)的情况时，通过考虑f[p^k]的计算方式，得出f[p^k] = p^k^m * (k - kp + 1)。文中提到，对于空间有限的情况，避免开过多辅助数组是关键。

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facsum

10.20

思路：
对于式子进行分析，前面的Phi就是一个很常规的转化，变成i^m。后边一个约数个数，一个Mobius，一个单位函数都是积性函数，所以卷起来也就积性啦（不是积性怎么做嘛。。）
于是就上线性筛了。
对于 if(i % prime[j] == 0) 的情况，也就是 f[p^k*c] = f[p^k] * f[c]。
所以我们只用考虑 f[p^k] 如何计算，d就是p^i，当 (i <= k-2) 是，n/d 中就会有多个p，那么mu自然就是0了，不必计算。
所以 f[p^k] = p^k^m * (g[p^k] * mu[1] * 1 + g[p^(k-1)] * mu[p] * p) = p^k^m * (k + 1 + k * (-p))
= p^k^m * (k - kp + 1)。结束
话说打表找规律也不失为一种很好的方法。

ps：空间限定比较严，那些又开mu又开phi什么的就只有唱歌啦啦啦。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define LL long long
#define N 10000010
#define MOD 1000000007
using namesp

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facsum （线性筛 积性函数）

facsum

facsum （线性筛积性函数）