鸣人的影分身（动态规划）

原创已于 2023-05-17 15:24:20 修改 · 62 阅读

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#动态规划 #蓝桥杯

于 2022-02-10 21:54:03 首次发布

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这篇博客讨论了一道经典问题：如何计算将n个苹果放入j个盘子的方案数。通过动态规划方法，定义dp[i][j]表示将i个苹果分成j份的方案数，并给出了状态转移方程。当i<j时，dp[i][j]=dp[i][i]；i=0时，dp[i][j]=1；j=0时，dp[i][j]=0；其他情况下，dp[i][j]=dp[i][j-1]+dp[i-j][j]。博主提供了代码实现并解释了状态转移方程的逻辑。

输入样例：

1
7 3

输出样例：

分析：这道题是一道比较经典的问题，就是求把n个苹果放在j个盘子里的方案数，设dp[i][j]就是把i分成j份的方案数，显然有dp[0][j]=1(就是每一份都为0)，dp[i][0]=0（把i分成0份是不合法的），若i<j,也就是说盘子比苹果多，那么显然至少有j-i个盘子为空，那么对于这种情况就有dp[i][j]=dp[i][i]，若不属于上述三种情况，那么就有i>=j，就有dp[i][j]=dp[i][j-1]+dp[i-j][j]，这个转移方程是怎么得到的呢？其实这是按照有没有空盘子来划分的，先来看有空盘子的情况，那么至少有一个空盘子，也就是dp[i][j-1]，这时候有小伙伴可能会有疑问，那为什么不能是有两个或者多个空盘子呢？其实有多个空盘子的情况是包含在dp[i][j-1]的，这一点希望大家好好理解一下，另一种情况就是没有空盘子的情况，i-j代表先拿出j个苹果放到j个盘子里面各一个，这样会保证每个盘子均不为空，剩余的i-j个苹果再继续分配，理解了这个状态转移方程就不难解决这道题目了，下面是代码：

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<vector>
#include<algorithm>
#include<map>
#include<cmath>
#include<queue>
using namespace std;
const int N=13;
int dp[N][N];//dp[i][j]表示把i分成j份的方案数
int main()
{
	dp[0][0]=1;
	for(int i=0;i<=10;i++)
	for(int j=0;j<=10;j++)
	{
		if(i<j) dp[i][j]=dp[i][i];
		else if(i==0) dp[i][j]=1;
		else if(j==0) dp[i][j]=0;
		else dp[i][j]=dp[i][j-1]+dp[i-j][j];
	}
	int T;
	cin>>T;
	while(T--)
	{
		int n,m;
		scanf("%d%d",&n,&m);
		printf("%d\n",dp[n][m]);
	}
	return 0;
}