POJ3107 Godfather 求树的重心

本文介绍了一种利用前向星存储图并结合set数据结构高效查找树重心的方法,详细阐述了算法原理及其实现过程。

摘要生成于 C知道 ,由 DeepSeek-R1 满血版支持, 前往体验 >

题目链接:http://poj.org/problem?id=3107


题目大意:求树的重心,如果有多个节点,按节点编号升序输出所有的。


分析:用vector存储图会TLE,这里用了前向星存储图,用set来记录节点可以省去排序(set是一颗二叉树,自动把加入的点按升序排列了)。


实现代码如下:

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <set>
using namespace std;
const int maxn=50005;

struct note
{
    int v,next;
}edge[maxn*2];

int head[maxn],ip;
int maxx,n,num[maxn];
set <int> point;
void init()
{
    memset(head,-1,sizeof(head));
    ip=0;
}

void addedge(int u,int v)
{
    edge[ip].v=v,edge[ip].next=head[u],head[u]=ip++;
}

void dfs(int u,int pre)
{
    int tmp=-0x3f3f3f3f;
    num[u]=1;
    for(int i=head[u];i!=-1;i=edge[i].next)
    {
        int v=edge[i].v;
        if(v==pre)continue;
        dfs(v,u);
        num[u]+=num[v];
        tmp=max(tmp,num[v]);
    }
    tmp=max(tmp,n-num[u]);
    if(tmp<=maxx)
    {

        if(tmp<maxx)
        {
            point.clear();
            point.insert(u);
            maxx=tmp;
        }
        else if(tmp==maxx)
          point.insert(u);
    }
}

int main()
{
    while(scanf("%d",&n)!=-1)
    {
        init();
        for(int i=1;i<n;i++)
        {
            int u,v;
            scanf("%d%d",&u,&v);
            addedge(u,v);
            addedge(v,u);
        }
        memset(num,0,sizeof(num));
        maxx=0x3f3f3f3f;
        dfs(1,-1);
        set <int> ::iterator it;
        bool first=true;
        for(it=point.begin();it!=point.end();it++)
        {
            if(first)
            {
                printf("%d",*it);
                first=false;
            }
            else printf(" %d",*it);
        }
        printf("\n");
    }
    return 0;
}


### POJ 树的重心问题解法 树的重心问题在POJ平台上的经典题目是 **POJ1655**。该问题的核心在于通过深度优先搜索(DFS)计算每个节点的子树大小,并进一步确定删除某个节点后,剩余部分的最大子树大小。最终目标是找到一个节点,使得删除该节点后,剩余的最大子树大小最小。 以下是关于该问题的具体解法和代码实现: #### 问题描述 给定一棵树,要找到树的重心树的重心定义为:删除某个节点后,所有生成的连通分量中,最大连通分量的节点数尽可能小。如果存在多个满足条件的节点,则输出编号最小的节点。 #### 解法思路 1. 使用 DFS 遍历整棵树,计算每个节点的子树大小 `son[u]`。 2. 在 DFS 过程中,对于每个节点 `u`,记录其所有子树的最大节点数 `Max`。 3. 计算当前节点 `u` 的父节点延伸出去的节点数目 `n - son[u]`。 4. 确定当前节点 `u` 删除后,剩余的最大子树大小 `tmp = max(Max, n - son[u])`。 5. 更新答案,选择使得 `tmp` 最小的节点作为重心。若 `tmp` 相等,则选择编号较小的节点。 #### 代码实现 以下是一个基于 C++ 的完整实现: ```cpp #include <cstdio> #include <cstring> #include <algorithm> using namespace std; const int N = 20005; int head[N], top = 0; int n; int son[N]; int ans, point; struct Edge { int v, next; } edge[N * 2]; void init() { memset(head, -1, sizeof(head)); top = 0; memset(son, 0, sizeof(son)); ans = n + 1; // 初始化为一个较大值 } void addedge(int u, int v) { edge[top].v = v; edge[top].next = head[u]; head[u] = top++; } void dfs(int u, int fa) { son[u] = 1; int Max = 0; for (int i = head[u]; i != -1; i = edge[i].next) { int v = edge[i].v; if (v == fa) continue; dfs(v, u); son[u] += son[v]; Max = max(Max, son[v]); } int tmp = max(Max, n - son[u]); if (tmp < ans || (tmp == ans && u < point)) { ans = tmp; point = u; } } int main() { int T; scanf("%d", &T); while (T--) { init(); scanf("%d", &n); int u, v; for (int i = 1; i < n; i++) { scanf("%d%d", &u, &v); addedge(u, v); addedge(v, u); } dfs(1, -1); printf("%d %d\n", point, ans); } return 0; } ``` #### 关键点解释 1. **初始化**:使用 `init()` 函数清空全局变量,确保每次测试用例独立运行[^3]。 2. **边的存储**:采用邻接表存储树的结构,便于快速访问每个节点的子节点。 3. **DFS 遍历**:通过递归方式计算每个节点的子树大小,并更新最大子树大小。 4. **结果更新**:在遍历过程中,实时更新最优解,确保最终答案满足题意。 #### 时间复杂度 - **DFS 遍历**:每个节点和边仅被访问一次,时间复杂度为 \(O(n)\)。 - **总复杂度**:对于多组测试数据,时间复杂度为 \(O(T \cdot n)\),其中 \(T\) 是测试用例数量,\(n\) 是节点数量。 ---
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