BestCoder Round #59 (div.2) 1002 Reorder the Books

最新推荐文章于 2024-08-26 19:48:25 发布

AC_Gibson

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分类专栏：模拟题

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/AC_Gibson/article/details/49028727

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本文介绍了一个图书排序问题，通过数学分析和算法设计，提出了一种高效解决图书顺序恢复的方法。问题来源于一套《SDOI故事集》的图书被打乱顺序，需要通过特定的操作方式将图书恢复到原本的顺序。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

问题描述

dxy家收藏了一套书，这套书叫《SDOI故事集》，《SDOI故事集》有 $n(n\leq 19)$ 本，每本书有一个编号，从 $1$ 号到 $n$ 号。
dxy把这些书按编号从小到大，从上往下摞成一摞。dxy对这套书极其重视，不允许任何人动这套书。
有一天Evensgn到dxy家玩，dxy因为和妹子有约会，就让Evensgn自己待在他家。Evensgn对这套书非常好奇，偷偷的看了一下，结果发现这里面竟然有当年小E和小Q的故事。Evensgn看得出神，结果把一摞书的顺序打乱了。
眼看着dxy就要回来了，Evensgn需要尽快把这摞书恢复到原先排好序的状态。由于每本书都非常重，所以Evensgn能做的操作只有把一本书从书堆中抽出来，然后把这本书放到书堆的顶部。
给你打乱的书的顺序，你能帮Evensgn算算最少需要几次上述的操作，他才能把这套书恢复顺序？假如你能算出来的话，Evensgn答应送给你一本他签名的书《SDOI故事集9:小E的故事》

输入描述

输入包含多组数据。
第一行包含一个正整数 $T(T\leq 30)$ 表示数据组数。
对于每组数据，第一行为一个正整数 $n$ 表示这套《SDOI故事集》中有多少本书。
接下来一行 $n$ 个用空格分开的正整数，表示Evensgn打乱后的这摞书的书号顺序（从上往下）。

输出描述

对于每组数据，输出一行一个整数，表示Evensgn最少需要几次操作才能讲书恢复顺序。

输入样例

输出样例

3
0

Hint

对于第一组数据，我们先把 $3$ 号书放到最上面，接着操作 $2$ 号书，最后操作 $1$ 号书， $(4,1,2,3)\rightarrow (3,4,1,2)\rightarrow(2,3,4,1)\rightarrow(1,2,3,4)$ ,这样就有序了
对于第二组数据，这摞书本来就有序了，所以不需要任何操作
 $n > 15$ 的数据不超过 $10$ 组

Reorder the Books（官方题解）

By davidlee1999WTK

把这题的模型简化一下，有一个 $1\rightarrow n$ 的排列形成的数列，我们要用最少的操作次数把这个数列排序，每次操作都是把一个数放到整个数列的最前面。首先我们可以注意到每个数最多只会被操作一次。因为假如有一个数被往前拿了两次，显然第一次的操作是没有意义的。然后能发现一定先操作大的数，再操作小的数。因为假如先把小的数放前面去了，再把大的数放前面去，小的数就又在大的数后面了，小的数必定还得再操作一次，然而操作两次是不划算的。

到这里，对于19的数据范围，我们有一个很暴力的做法， $2^n$ 枚举要操作哪些数，这些操作按数的大小从大往小的顺序，模拟一下，然后检查一下最后的序列是否有序，复杂度 $O(n*2^n)$ 。

我们很快又能发现，假如操作了大小等于 $k$ 的数，那么所有小于 $k$ 的数也都得操作了。所以我们不用2^n枚举，直接 $m$ 从 $1$ 开始从小到大枚举，表示要操作前 $m$ 小的数，然后模拟，验证，这样复杂度为 $O(n^2)$ 。

不过其实 $m$ 也是不用枚举的。首先可以发现最大的数 $n$ 是不用操作的（其他数操作好了，数" $n$ "自然就在最后面了）。于是我们先找到最大的数" $n$ "的位置，从这个位置往前找，直到找到 $(n - 1)$ 。假如找到头也没找到 $(n - 1)$ ，那么数" $(n - 1)$ "需要操作，而一旦操作了 $(n - 1)$ ，根据前面结论，总共就需要 $(n - 1)$ 次操作了;假如找到了(n-1)，那么数" $(n - 1)$ "也不需要操作（和数" $n$ "不需要操作一个道理）。同理，我们接着从 $(n - 1)$ 的位置往前找 $(n - 2)$ ,再从 $(n - 2)$ 的位置往前找 $(n - 3)$ ...假如数 $k$ 找不到了，那么就至少需要 $k$ 次操作。这种做法的复杂度是 $O (n)$ 的

实现代码如下：

#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
int main()
{
    int t,n,book[20];
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        scanf("%d",&n);
        for(int i=0;i<n;i++)
          scanf("%d",&book[i]);
        int cnt=n-1,ans=n;
        while(cnt>=0)
        {
            if(book[cnt]==ans) ans--;
            cnt--;
        }
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}