LeetCode#62.不同路径

最新推荐文章于 2025-04-24 10:37:23 发布

ACXYR

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文章标签： leetcode 动态规划 dfs

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/ACXYR/article/details/107629675

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本文探讨了在一个m×n网格中，机器人从左上角到右下角的不同路径数量问题。首先介绍了使用深度优先搜索(DFS)的方法，尽管该方法存在效率问题。随后，详细阐述了更高效的动态规划解法，通过状态转移方程计算路径数。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

一、题目描述

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角（起始点在下图中标记为“Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为“Finish”）。

问总共有多少条不同的路径？

例如，上图是一个7 x 3 的网格。有多少可能的路径？

二、解法一：DFS

注意： 该方法会TLE。

class Solution {
public:
    bool flag[105][105];//标记数组，若flag[x][y]=true，表示该点被访问过
    int dir[2][2] = { 0,1,1,0 };//两个方向：右、下
    int col, row;//表示地图的行数、列数
    int res;//记录可能的路径数

    //判断点(x,y)是否应该被搜索
    bool visit(int x, int y) {
        if (!flag[x][y] && x >= 1 && x <= row && y >= 1 && y <= col) {
            return true;
        }
        return false;
    }

    void dfs(int x, int y) {
        flag[x][y] = true;//标记该点，表示已经被搜索过
        if (x == row && y == col) {
            res += 1;
        }
        for (int i = 0; i < 2; i++) {
            if (visit(x + dir[i][0], y + dir[i][1])) {
                dfs(x + dir[i][0], y + dir[i][1]);
            }
        }
        flag[x][y] = false;
        return;
    }

    int uniquePaths(int m, int n) {
        col = m;
        row = n;
        dfs(1, 1);
        return res;
    }
};

三、解法二：动态规划

思路：

最终只能由终点的左边一格或上边一格到达终点，因为每次只能向右或者向下走。
令 $d p [n] [m]$ 表示到达终点的最大路径数，则状态转移方程为：

$d p [n] [m] = d p [n] [m - 1] + d p [n - 1] [m]$

代码：

class Solution {
public:
    int uniquePaths(int m, int n) {
        int dp[105][105];
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            dp[i][0] = 1;
        }
        for (int j = 0; j < m; j++) {
            dp[0][j] = 1;
        }
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            for (int j = 1; j < m; j++) {
                dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
            }
        }
        return dp[n - 1][m - 1];
    }
};