LeetCode#53.最大子序和-优快云博客

本文深入探讨了求解最大子序和问题的三种方法：暴力解法、动态规划及分治法。通过实例详细解释每种算法的思路与代码实现，帮助读者理解并掌握这些算法的应用。

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53.最大子序和

一、题目描述
二、解法一：暴力
三、解法二：动态规划
四、解法三：分治法

一、题目描述

给定一个整数数组nums，找到一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。

示例：

输入： [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]
输出： 6
解释： 连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6。

进阶：
如果你已经实现复杂度为O(n)的解法，尝试使用更为精妙的分治法求解。

二、解法一：暴力

思路：
将所有连续子数组的和都求出来，取最大值。

代码：

class Solution {
public:
    int maxSubArray(vector<int>& nums) {
        int max = INT_MIN;
        int len = int(nums.size());
        for (int i = 0; i < len; i++)
        {
            int sum = 0;
            for (int j = i; j < len; j++)
            {
                sum += nums[j];
                if (sum > max)
                    max = sum;
            }
        }
        return max;
    }
};

三、解法二：动态规划

思路：
用dp[i]表示nums中以nums[i]结尾的最大子序和，其转移方程为：

$dp[i]=max\{dp[i-1]+nums[i]，nums[i]\}$

最终要求的答案是：

$max\{dp[i]\}$

代码：

class Solution {
public:
    int maxSubArray(vector<int>& nums) {
        int res = INT_MIN;
        int len = int(nums.size());
        //dp[i]表示nums中以nums[i]结尾的最大子序和
        vector<int> dp(len);
        dp[0] = nums[0];
        res = dp[0];
        for (int i = 1; i < len; i++)
        {
            dp[i] = max(dp[i - 1] + nums[i], nums[i]);
            res = max(res, dp[i]);
        }
        return res;
    }
};

四、解法三：分治法

思路：
取数组中心点为中心，最大子序要么全在左区间，要么全在右区间，要么跨中心。对于跨中心的情况，以中心点为起点，分别向左和向右进行遍历，找到两侧的最大子序和，再相加即可。

代码：

class Solution {
public:
    int findMidSum(vector<int> &nums, int left, int mid, int right)
    {
        int leftSum = INT_MIN;
        int sum = 0;
        for (int i = mid; i >= left; i--)
        {
            sum += nums[i];
            leftSum = max(leftSum, sum);
        }

        int rightSum = INT_MIN;
        sum = 0;
        for (int i = mid + 1 ; i <= right; i++)
        {
            sum += nums[i];
            rightSum = max(rightSum, sum);
        }
        return leftSum + rightSum;
    }

    int get(vector<int> &nums, int left, int right)
    {
        if (left == right)
            return nums[left];

        int mid = (left + right) / 2;
        int leftSum = get(nums, left, mid);
        int rightSum = get(nums, mid + 1, right);
        int midSum = findMidSum(nums, left, mid, right);
        int ret = max(leftSum, rightSum);
        ret = max(ret, midSum);
        return ret;
    }

    int maxSubArray(vector<int>& nums) {
        int res = INT_MIN;
        int len = int(nums.size());
        res = get(nums, 0, len - 1);
        return res;
    }
};