BZOJ 4530 [Bjoi2014]大融合 [LCT]

最新推荐文章于 2019-02-26 07:49:00 发布

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本文介绍了一种使用LCT树解决动态图问题的方法，特别关注于如何高效地处理边的增删及查询边相关联的简单路径数量问题。通过维护子树节点数量，确保了即使在频繁的操作下也能快速得出答案。

题意：给n个相互独立的点，每次有两个操作：

①将x连接y

②询问经过边[x,y]的简单路径有几条

注意：题目保证图始终是森林。

题解：通过题目我们可以知道，边[x,y]的简单路径的数目是边两边点数相乘，由于涉及到连接操作，我们可以考虑用LCT维护子树的节点的数量。由于通常的LCT模板维护的是splay（辅助树）上的情况。所以我们需要记录两个值：一个是虚边连接的子树的大小（不在一个splay中的树），二是整个子树的大小。考虑到虚子树的大小只在access和link的时候才会发生变化，所以我们需要在这两个操作中进行修改：

①access的时候，当我们断掉一条[x,ch[x][1]]实边的时候，我们将sizexu[x]（虚子树大小）增加sizesum[ch[x][1]]（子树总大小）。当我们要连接一条实边的时候，我们将sizexu[x]减去sizesum[t]。

②link的时候，为了保证信息保存的正确性，我们需要多做一个操作make_root[y]然后再把x连接上去，并做sizexu[y]+=sizesum[x]。

在update的时候sizesum[x]=虚子树的大小+左实子树大小+右实子树大小+本身大小。

最后询问的时候，我们要将x与y连接到一个splay上，先make_root(x),再access(y),splay(y)，这时候sizesum[y]就是这棵树的大小，sizesum[x]就是边[x,y]一边的点数。ans=（sizesum[y]-sizesum[x]）*sizesum[x]。

AC代码：

#include<stdio.h>    
#include<algorithm>    
#define N 100005    
using namespace std; 
typedef long long ll;   
//struct stp{int x,y,a,b;}a[N];    
//bool cmp(stp a,stp b){return a.a<b.a;}    
int rev[N],ch[N][2],V[N],pre[N],fa[N],st[N],t,sizesum[N],n,sizexu[N];    
//splay中数组：rev反转标记 ch树的儿子节点     
//V节点value pre节点的父节点 st存节点的栈     
//其他数组：fa     
int find(int x){return fa[x]==x?x:fa[x]=find(fa[x]);}//并查集     
bool is_root(int x){return ch[pre[x]][0]!=x&&ch[pre[x]][1]!=x;}    
//判断x是否为其中一颗splay的根节点     
void reverse(int x)    
{    
    rev[x]^=1;swap(ch[x][0],ch[x][1]);    
    rev[ch[x][0]]^=1;rev[ch[x][1]]^=1;    
}    
void update(int x)    
{    
	sizesum[x]=sizexu[x]+sizesum[ch[x][0]]+sizesum[ch[x][1]]+1;
}    
void rotate(int x)    
{    
    int y=pre[x],z=pre[y];    
    bool f=ch[y][1]==x;    
    if(!is_root(y))ch[z][ch[z][1]==y]=x;    
    ch[y][f]=ch[x][!f];ch[x][!f]=y;    
    pre[x]=z;pre[y]=x;pre[ch[y][f]]=y;    
    update(y);update(x);    
}    
void splay(int x)    
{    
    st[t=1]=x;    
    for(int y=x;!is_root(y);st[++t]=y=pre[y]);    
    for(;t;t--)if(rev[st[t]])reverse(st[t]);    
    for(;!is_root(x);rotate(x))if(!is_root(pre[x]))    
        ch[pre[x]][0]==x^ch[pre[pre[x]]][0]==pre[x]?rotate(x):rotate(pre[x]);    
    update(x);    
}    
void access(int x)
{
	for(int t=0;x;ch[x][1]=t,t=x,x=pre[x])
	{
		if(t)update(t);
		splay(x);
		sizexu[x]+=sizesum[ch[x][1]]-sizesum[t];
	}
}    
void make_root(int x){access(x);splay(x);rev[x]^=1;}    
void link(int x,int y){make_root(x);make_root(y);pre[x]=y;sizexu[y]+=sizesum[x];}//将x的父亲设为y     
void cut(int x,int y){make_root(x);access(y);splay(y);pre[x]=ch[y][0]=0;sizesum[y]-=sizesum[x]}    

int main()
{
	int n,q;
	scanf("%d%d",&n,&q);
	for(int i=1;i<=n;i++)sizesum[i]=1;
	while(q--)
	{
		char op[2];
		int x,y;
		scanf("%s%d%d",op,&x,&y);
		if(op[0]=='A')
			link(x,y);
		else 
		{
			make_root(x);
			access(y);
			splay(y);
			int sum1=sizesum[y];
			int sum2=sizesum[x];
			sum1-=sum2;
			printf("%lld\n",(ll)sum1*sum2);
		}
	}
}