[UVALive 6955 Finding Lines]概率+随机算法

[UVALive 6955 Finding Lines]概率+随机算法

知识点：math probability random algorithm

1. 题目链接

[UVALive 6955 Finding Lines]

2. 题意描述

有$n$个顶点,坐标记为$(x_i, y_i)$，求是否存在一条这样的直线，覆盖至少$p\%$的点。
$1\le n\le 10^5, 0\le x_i,y_i\le 10^9, \color{red}{20\le p\le 100}$。

3. 解题思路

比较直接的想法是$O(N^2)$的去暴力枚举。显然不行。
但是，注意到这个题目$\color{red}{20\le p\le 100}$这个条件。细细分析一下。需要有一条直线覆盖$20\%$的点，在点完全均匀离散的时候，实际上概率是比较小的。
考虑随机选取$2$个顶点来枚举每条直线。假设存在$p\%$的点在同一条直线上。那么从$n$个点中任意选出$2$个顶点构成该直线，选中的概率为$(\frac{p}{100})^2$,没选中的概率为$[1-(\frac{p}{100})^2]$。当我随机$t$次时，那么依旧没有选中该直线的概率就为$[1-(\frac{p}{100})^2]^t$，那么显然，当$t$够大的时候，这个没有选中的概率是相当小的，极速收敛于$1$。
随机次数$t$的确定可以这样做：
取$p$最小$p=20$,

$$[1-(\frac{p}{100})^2]^t=(\frac{24}{25})^t$$
我们可以取 $t\in[200,1000]$。太大了会TLE，因为每次需要 $O(n)$的统计在直线上的点。

4. 实现代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long LL;
typedef pair<int, int> PII;
typedef pair<LL, LL> PLL;

const int MAXN = 1e5 + 5;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const LL INFL = 0x3f3f3f3f3f3f3f3fLL;

int n, p;
LL x[MAXN], y[MAXN];
bool ans;

void run() {
    int a = rand() % n;
    int b = rand() % n;
    while(b == a) b = rand() % n;
    LL up = x[a] - x[b], dw = y[a] - y[b];
    LL cnt = 2;
    for(int i = 0; i < n; i++) {
        if(i == a || i == b) continue;
        LL uup = x[i] - x[b], ddw = y[i] - y[b];
        if(up * ddw == uup * dw) cnt ++;
    }
    if(n * p <= cnt * 100) ans = true;
}
int main() {
#ifdef ___LOCAL_WONZY___
    freopen("input.txt", "r", stdin);
#endif // ___LOCAL_WONZY___
    srand(12);
    while(~scanf("%d", &n)) {
        scanf("%d", &p);
        ans = false;
        for(int i = 0; i < n; i++) scanf("%lld %lld", &x[i], &y[i]);
        if(n <= 2) {
            puts("possible");
            continue;
        }
        int t = 200;
        while(t --) {
            run();
            if(ans) break;
        }
        puts(ans ? "possible" : "impossible");
    }
    return 0;
}