【数学】矩阵的意义：线性变换

本文探讨了矩阵作为线性变换的表示，解释了如何通过矩阵将n维向量映射到m维空间，并阐述了线性变换的性质。特别地，通过2维旋转矩阵的示例，展示了线性变换在几何中的直观意义。

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变换：

假设 $x$ 为n维列向量， $y$ 维m维列向量， $A$ 维m×n的矩阵。有下面公式成立： $A x = y$
在上面式子中，我们可以将矩阵 $A$ 看作是 $R^n→R^m$ 的一个函数(变换)，他将n维向量空间中的向量( $x$ )映射到m维向量空间中( $y$ )。 $R^n$ 为函数的定义域， $R^m$ 为函数的值域
展开： $x=[x_1,x_2,…,x_n]$ $A=[ξ_1,ξ_2,…,ξ_n]$ $ξ_i=[ξ_i^1,ξ_i^2,…,ξ_i^m]$ 则： $Ax=x_1 ξ_1+x_2 ξ_2+⋯+x_n ξ_n$
由展开式我们知道，矩阵 $A$ 构成函数的值域，是由 $A$ 的列向量张成的线性空间。

线性变换是一类满足线性条件的变换。所谓的线性条件就是： $T (u + v) = T (u) + T (v)$ $T (c u) = c T (u)$
假设 $n$ 维空间的标准正交基维： $e_1,e_2,…,e_n]$ $e_i=[0,0,…,1,…,0]∈R^n$ 则 $x$ 表示为： $x=x_1 e_1+x_2 e_2+⋯+x_n e_n$
经过线性变换 $T$ 变换： $T(x)=T(x_1 e_1+x_2 e_2+⋯+x_n e_n )$ $x_1 T(e_1)+x_2 T(e_2)+⋯+x_n T(e_n)$ $T(e_1 ),T(e_2 ),…,T(e_n )] [x_1,x_2,…,x_n ]^T$
令： $A=[T(e_1 ),T(e_2 ),…,T(e_n )]$ $T (x) = A x$
线性变换 $T$ 可以理解为一个向量函数 $f (x) = y$ ， $x$ 为n维向量， $y$ 为n维向量。 $A^{m×n}$ 被称为是线性变换T的标准矩阵。
总结：每个矩阵都对应着一个线性变换。

为了更好的说明线性变换的几何含义，我们在二维情况下进行说明，下面矩阵被称为 2 维平面上的旋转矩阵： $A=[cosφ−sinφsinφcosφ]A=\begin{bmatrix} cosφ & -sinφ \\ sinφ & cosφ \end{bmatrix}$
根据上面的推理有线性映射T与其对应： $A=[T(e_1 ),T(e_2)]$ $T(e1)=[cosφsinφ]T(e_1 )=\begin{bmatrix} cosφ \\ sinφ \end{bmatrix}$ $T(e2)=[−sinφcosφ]T(e_2)=\begin{bmatrix} -sinφ \\ cosφ \end{bmatrix}$ $e1=[10]e_1=\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ $e2=[01]e_2=\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$
可以看出矩阵 $A$ 的变换就是一个旋转操作,旋转图如下：