划分数问题

题目描述：

• 有$n$个无区别的物品，将他们划分成不超过$m$组，求划分方式模$M$的余数。

限制条件：

• $1\le m\le n\le 1000$
• $0\le M\le 10000$

题解：

动态规划：

• 步骤：
  • dp数组含义：$dp[i][j]=$将j划分为到不超过$i$组中的划分总数。
  • 初始条件：$dp[1][0-n]=1$
  • 递推公式：$dp[i][j]=dp[i][j-i]+dp[i-1][j]$
  • 递推方向：左到右,上到下。
  • 结果：$dp[m][n]$是否为真
• 时间复杂度 ：$O(mn)$
  
  
• 递推公式的解释：
  • 看到上面$dp$数组的含义我们可能第一反应是这样的递推：$$dp[i][j]=\sum _{k=0}^{j}dp[i-1][j-k]$$但是这个递推会出现重复的情况，例如：1+1+2=2+1+1。分析发现出现重复的主要原因是:我们是先确定$dp[i][j]$第$i$元素为然后再去确定前面的$i-1$个数，这样就会出现重复，看上面样例，其实在前两个数的组合是没有重复的，当当最后一个数重复取前面的数字时就出现了重复。
  • 如果我们同时改变所有数那就不会出现重复：如果$dp[i][j]=H$中没有重复情况，$j={\sum }_{k=1}^i{a}_k$ ,如果我们对每个$a_k$加一个$1$，这样的$H$种组合肯定是不重复的，就可以得到$dp[i][j+i]$中$H$种不重复的情况，并且这个$H$种情况中不包括$a_k=0$的情况。我们再加上0的情况就是$dp[i][j+i]$的总数，当$dp[i][j+i]$存在1个0时，切分个数应该是$dp[i-1][j]$中没有0元素的情况，当$dp[i][j+i]$存在2个0时=$p[i-1][j]$中有1个0元素的情况，一此类推，最后：当$dp[i][j+i]$存在$1-(i-1)$个0时=$dp[i-1][j]$。所以最后的递推公式应该为：$dp[i][j]=dp[i][j-i]+dp[i-1][j]$.

代码：

#include <iostream>
#define Max_N   1005
using namespace std;
int n,m,M;
int dp[Max_N][Max_N];

//动态规划
void solve()
{
    //初始化
    for(int j=0; j<=n; j++)
        dp[1][j]=1;
    //递推
    for(int i=2; i<=m; i++)
        for(int j=0; j<=n; j++)
        {
            dp[i][j]=dp[i-1][j];
            if (j>=i)
                dp[i][j]=(dp[i][j]+dp[i][j-i])%M;
        }
    //结果
    cout<<dp[m][n]<<endl;
}

int main()
{
    cin>>n>>m>>M;
    solve();
    return 0;
}
/*
4 3 10000
*/