随机采样方法与python实现

一、什么是采样

• 在信号系统和数字信号处理中，采样是每隔一定的时间测量一次声音信号的幅值，把时间连续的模拟信号转换成时间离散幅值的采样信号。
• 如果采样的时间间隔相等，这种采样称为均匀采样。
• 在计算机系统中有一个重要的问题叫随机采样：就是给定一个概率分布$p(x)$,我们如何按照该分布产生样本
• 在机器学习或统计学习中,我们是给定一堆样本数据,通过参数估计的方法求出这堆样本所符合的概率分布$p(x)$;而随机采样刚相反：给定一个概率分布p(x)，如何生成满足条件的样本？

二、均匀分布的采样

• 首先需要明确,计算机程序都是确定性的,因此并不能产生真正意义上的随机数,只能产生伪随机数.
• 另外由于计算机的存储和计算单元只能处理离散状态值,因此也不能产生连续均匀分布的随机数,只能通过离散分布来逼近连续分布.
• 均匀分布式是一种最简单的分布。在计算机中使rand()函数生成的伪随机数序列，就可以看做是一种均匀分布。
• 一般可采用线性同余法来生成离散均匀分布伪随机数,计算公式为:$$x_{t+1}=(a{x}_t+c)modm$$
• 根据当前生成的随机数$x_t$来进行适当变换,进而产生下一次的随机数$x_{t+1}$.初始值$x_0$称为随机种子.上式可得到区间$[0,m-1]$上的伪随机数.
• 想要真正的随机数可以通过自然界的物理产生,比如放射性物质的衰变,温度,气流的扰动等.有一些网站可以提供基于大自然的随机现象的随机数,有兴趣的读者可以尝试一下.
• 代码：

import time
start = int(time.time()); # 以当前时间作为种子
m = (1 << 31) -1; # 2^31 -1
a = 1103515245;
b = 12345;
R=start
for i in range(5):
    R = ( a *R + b ) % m;
    print(R/m)#产生[0,1]的随机数

三、离散分布采样

• 离散分布是比均匀分布稍微复杂一点的情况。下面用一个例子来详细说明：
• 令概率分布为：$p(x)=[0.1,0.2,0.3,0.4]$，$x=["hello",“java”,“python”,"scala"]$,我们可以使用将每个概率视为区间[0,1]中的一个小线段，线段长度为概率的大小，然后用上面均匀分布产生随机数，随机所在区间就是当前要采的样本。
• 代码：

import numpy as np
from collections import defaultdict

dic = defaultdict(int)#key是x的取值，value是x被采样的次数
def sample():
    u = np.random.rand()#在[0,1]上按照均匀分布产生一个随机数
    if u <= 0.1:#[0,0.1]=>x=hello
        dic["hello"] += 1
    elif u <= 0.3:#(0.1,0.3]=>x=java
        dic["java"] += 1
    elif u <= 0.6:#(0.3,0.6]=>x=python
        dic["python"] += 1
    else:#(0.6,1]=>x=scala
        dic["scala"] += 1


for i in range(10000):#进行100词采样
    sample()
for k,v in dic.items():
    print(k,v)

输出：
python 2991
scala 3940
hello 1037
java 2032

四、逆变换采样法

• 对于连续型随机变量$X$，一点有两个函数：

  • 概率密度函数：$f(x)$

  • 分布函数：$F_X(x)=P(X\le x)={\int }_{-\infty }^{x}f(t)dt$ :表示随后变量取值在区间$(-\infty ,x]$的概率

  • 两个函数的图如下所示：

    

  • 并且有下面性质：

    • $F_X(x)$是$f(x)$的一个原函数
    • 并且$0\le F_X(x)\le 1$.
    • $F_X(x)$是一个单独递增的函数，并存在反函数$F_X^{-1}$.

• 重要定理： 若联系型随机变量$Y$与连续型随机变量$X$是关系为：$Y=F_X(X)$,即他们的关系函数是$X$是分布函数。则随机变量$Y$是$0,1]$上的均匀分布,即：$Y$~$U(0.1)$.下面证明一下：$$\because Y=F_X(X)\therefore X=F_X^{-1}(Y)$$ $$\because F_X(x)是单调递增的\therefore F_X^{-1}(Y)也是单调递增的$$ $$\because F_X(x)=P(X\le x)$$