CF 39E What Has Dirichlet Got to Do with That? （博弈）

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博客介绍了CF 39E博弈问题的解决策略，当a ^ b达到或超过n时游戏结束。通过分析，发现n的范围限制了a和b的最大值。博主采用动态规划dp[i][j]来处理a > 1且b > 1的情况，并分别讨论了a等于1或b等于1时的特殊策略，包括平局和必败态的判断。最后处理a和b同时等于1的情况，确定先手玩家的胜负。

转载请注明出处，谢谢http://blog.youkuaiyun.com/ACM_cxlove?viewmode=contents by---cxlove

题意：给出a ^ b，两个人轮流操作，可以 a + 1 也可以 b + 1，谁先使得a ^ b >= n则输。

由于题目给的n并不大，1e9的范围，如果不考虑a == 1 or b == 1的情况下

a最大为sqrt (n) ,b最大为ln(n) / ln(2)。

所以我们可以处理出所有的a > 1 && b > 1的情况，dp[i][j]表示当前局面为 i ^ j下的输赢情况，记忆化搜索一下。

然后便是考虑特殊情况

如果 a == 1 && b > 1，这种情况可能导致平局，便是两个轮流只在b上操作，导致结果一直为1。

那么我们可以模拟当前是否考虑操作a，由于a > 1 && b > 1所有情况的输赢已经处理过了。

所以只要当前a + 1 , b是个必败态，则会考虑操作。否则可能是平局。当然了a也是有个上限的。直接枚举模拟就行。

如果b == 1 && a > 1，这种情况下同理。

枚举模拟当前是否考虑操作b，如果a , b + 1是个必败态，那么会考虑操作。

我们可以处理到上界sqrt (n)，因为一旦 a > sqrt (n)，只要操作b，便会失败。后面的局面就已经确定了。

如果 a == 1 && b == 1，先手操作a的话，便成了a > 1 && b == 1的局面，操作b的话便成了a == 1 && b > 1的局面。

两种情况都处理一下，如果有必胜，肯定先手胜，否则如果有平局，则考虑平局，否则先手败。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <map>
#include <vector>
#include <string>
#include <queue>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#define Key_value ch[ch[root][1]][0]
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 35000;
const int M = 31;
int a , b , n , dp[N][M];
// a ^ b >= n ? true : false
bool check (int a , int b , int n) {
    LL ret = 1LL;
    for (int i = 0 ; i < b ; i ++) {
        ret = ret * a;
        if (ret <= 0 || ret >= n) 
            return true;
    }
    return false;
}
int dfs (int a , int b) {
    if (dp[a][b] != -1) return dp[a][b];
    if (check (a , b , n)) {
        return dp[a][b] = 1;
    }
    int ret = 0;
    ret |= ! dfs (a + 1 , b);
    ret |= ! dfs (a , b + 1);
    return dp[a][b] = ret;
}
bool b_is_one (int a , int b = 1) {
    int up = sqrt (n - 0.0000001);
    int turn = 0;
    while (a <= up) {
        if (dp[a][b + 1] == 0) {
            return turn == 0;
        }
        a ++;turn = 1 - turn;
    }
    int remain = n - 1 - a;
    turn = (turn + remain) % 2;
    return turn;
}
int a_is_one (int b , int a = 1) {
    if (check (a , b , n)) return 0;
    else {
        int turn = 0;
        for ( ; !check (2 , b , n) ; b ++) {
            if (dp[a + 1][b] == 0) {
                if (turn == 0) return 1;
                else return -1;
            } 
            turn = 1 - turn;
        }
        return 0;
    }
}
int main () {
    #ifndef ONLINE_JUDGE
        freopen ("input.txt" , "r" , stdin);
        // freopen ("ouput.txt" , "w" , stdout);
    #endif
    memset (dp , -1 , sizeof (dp));
    cin >> a >> b >> n;
    if (check (a , b , n)) {
        puts ("Masha");
        return 0;
    }
    for (int i = 2 ; i < N ; i ++) {
        for (int j = 2 ; j < M ; j ++) {
            dp[i][j] = dfs (i , j);
        }
    }
    if (a !=1 && b != 1) {
        puts (dp[a][b] ? "Masha" : "Stas");
        return 0;
    }
    if (a == 1 && b == 1) {
        int c = a_is_one (b + 1) , d = b_is_one (a + 1);
        if (c < 0 || d == 0) puts ("Masha");
        else if (c == 0) puts ("Missing");
        else puts ("Stas");
    }
    else if (b == 1) {
        puts (b_is_one (a) ? "Masha" : "Stas");
    }
    else if (a == 1) {
        int c = a_is_one(b);
        if (c == 0) puts ("Missing");
        else if (c == 1) puts ("Masha");
        else puts ("Stas");
    }
    return 0;
}