数学学习中的思考（三）用物理的方法看泰勒展开

最新推荐文章于 2022-10-21 11:19:48 发布

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泰勒展开可谓是一个无比伟大的数学方法。作为刚刚考完研的人，我也知道这个公式多么的 “有用”。

如果对泰勒展开仅仅停留在公式用来做题，那未免太暴殄天物了。

同时，此文也能让你看看函数 n 阶不可导的本质。

但是理解泰勒展开，一开始对于我来说并不是那么容易的，至少从纯数学上面来理解不容易。但是探究很久，并且看了不少关于泰勒展开的文章之后，我产生了一种理解。而且这种理解并不难言喻。那便是从物理的角度来看待泰勒展开。

1、已知某质点的初始运动状态而且保持不变，可以推理出该点任何时刻的位置

这是本文的重点。先看最简单的一个例子

1.1匀速直线运动

一个质点在一个轴上匀速运动，初始时刻 0 时位移也为0,那么在时刻 t 这个质点的位移量与速度和时间的关系是：

s=v*(t-0) s是位移 v是速度 t 代表时刻。

这个表达十分常见，但是我要强调一点我做的事情：已知这个质点的初始运动状态，可以推理出这个质点任意时刻的位置。

1.2匀加速直线运动

同样是一个质点，初始时刻位置为 0 。拥有 初速度 v 恒定的加速度 a 那么在时刻 t 它的位移量与其他状态量的关系是

$s=\frac{1}{2}a(t-0)^2+v(t-0)$ s 同样表示位移量

这是高中物理中的匀加速运动的位移公式。我对这个公式的理解是，加速度和初速度分别对位移做“贡献”。先分开求两者的贡献，然后再加起来。也就是说，这两者对位移的影响随时间的变化是线性关系，所以说假设没有加速度 a 公式就是 s=v*(t-0) ，假设没有初速度 v 公式就是 $s=\frac{1}{2}a(t-0)^2$ 。加速度与初速度对位移变化量是独立的。

同时，众所周知，加速度是速度的变化率也就是速度对于时间的导数，而在这里，这个变化率是恒定的。

不过，尽管有加速度，初速度两个状态在这个质点上，但是我仍然做了一件同样的事情：已知这个质点的初始运动状态，可以推理出这个质点任意时刻的位置。

这是可能有的读者有点矛盾，我写的这一节标题是初始运动状态已知而且保持不变，这里很明显，速度肯定变化了，因为有加速度。但是我依旧靠初始状态预测了任意时刻的位移量。读者可以思考一下是不是我的标题写错了或者是没有表达完整，这里你先默认我的标题写的不好，而这个问题会在第 2 小节解答。

1.3加速度也有变化率

1.1我介绍的是速度不变，1.2介绍的是速度有恒定的变化率也就是加速度，假设加速度也有变化率 {a}' 其实大家知道这就是加速度对于时间的导数，这个时候加速度就不恒定了。假设加速度变化率 {a}' 也有变化率 {a}'' ，那 {a}' 也不可能恒定。请问：在这种情况下，我还能不能根据质点的初始状态（即已知在0时刻的初速度 v 加速度 a {a}' {a}'' ）预测在任意时刻的位移量呢？

答案是可以。

我要说的主题就是：无论有多少个初始状态，只要所有初始状态已知而且不变，都能预测任意时刻的初始状态。

关于初始状态的个数，也可以根据表达式来判断，例如

s=t^2+t

t=0 时显然 s=0

让 s 对 t 求一次导数 {s}'=2t+1 t=0时 s 的一阶导为 1 。这就是初速度。

求二次导数， {s}''=2 s 的二阶导恒定为 2 ，这就是说明加速度恒定不变。

假设有 t 的更高次方，那么就可以得到更多的 “初始状态”。不过无论初始状态多少个，我所做的预测位移量，都可以实现。

是不是觉得到这里都很简单，而且和泰勒展开好像没有关系

但是

假设“初始状态”有无数个呢？可能位移表达式不是这样的 s=t^4+t^3+t^2+t^1

而是这样的 s=cos(t) ，你可以对这个余弦函数无限次的求导，也就是说，你可以找到 无限个“初始状态”。这个时候就无法准确的计算任意时刻的位移量了。因为这个函数拥有初速度，加速度，加速度的变化率，加速度变化率的变化率。。。。。。。如此套娃。

不过你要注意我的用词，我说的是无法准确计算，但是可以估算啊。比如，我可以通过1.3介绍的方法，计算出 s=cos(t) 这种位移中的 3 个初始状态，初始位移 $s_{1}=1$ 初速度 v=0 初加速度 $a=-\frac{1}{2}$ 。其他的无数个初始状态为都抛弃掉，计算这 3 个， $s=cos(t)\approx-\frac{1}{2}t^2+1$ 。

如果你觉得这样处理太粗糙了，你就可以多算几次导数，多算出几个“初始状态”，来追求更高得精度。

看到这里，你肯定知道我要说什么了，这种用有限个“初始状态”来估算无限个“初始状态”函数数值的方法，就叫泰勒展开。

同样，你既然可以通过初始点的所有“初始状态”来预测，自然也可以通过任何时刻的“状态”信息，来预测任意时刻的位移量。即只需要一点的所有“状态”信息，就可以做到预测。所以泰勒展开可以展开在任何一个“信息完全”的点。

2、什么叫高阶可导

考研时，我拿起某位数学大咖的考研指导书，上面的每一个字我都认识，真的。

我指着其中一处，问我的同学：你给我翻译翻译，什么tmd叫一阶可导二阶不可导。

他开始说胡话，我又说了“我tm叫你翻译翻译，什么tmd叫tmd一阶可导二阶不可导”。

今天轮到我自己来翻译了，如果你没有看懂上面的一小节，这一节就不好说了。

上一节1.2中留下的问题，我提到了，要想预测一个质点任意时刻的准确位移量，必须知道所有的“初始状态”而且状态保持不变。你肯定注意到了，我说的保持不变，意思不是初速度为 3m/s，那速度就必须一直 3m/s。预测时，当然允许速度变化，加速度也可以变化，几乎所有的“初始状态”都可以变化。

但是我说的变化不是指任何形式的变化，而只允许由其他的“初始状态”带来的变化。比如速度可以因为加速度或者加速度的变化率，以及更加高阶的“初始状态”变化。

但是不允许突变。

什么叫突变？就是上一刻的速度是 3m/s 下一刻突然变成了 5m/s 。比如这样的

t^2 表示 t^2 。从t=0开始在 t=2 的这一点，加速度突然由 2 变为了 4 。

这就像是，原本在 t=0 时，质点具有初速度，而且受到一个变化的力，使得其有不断增大的加速度。但是在 t=2 时，就像突然有个外来的力加在了这个质点上，使得加速度突然暴增。

像这种“外来力”，使得这个系统的状态发生了变化，因为这种变化不是由“初始状态”自然生成，而是外加的。你可以想象成，假设一个“初始状态”恒定的系统中，在某个时刻收到了干扰，那么之前所做的预测都要失效，因为之前的预测并没有考虑这个“干扰”。这个例子中，我们看到，时刻 2 以前与时刻 2 之后，对这个系统的位移量的预测“方式”是不一样的。

这个时候，加速度的变化率就说不清了，因为在一个时刻加速度增加了 2 。而时刻是一个无限接近 0 的时间长度，如果非要计算时刻 t=2 的加速度变化率（即时刻 t=2 的三阶导数）那就会得到 无穷大 这个结果。这个时候我们就称在时刻 t=2 此函数三阶不可导。但是二阶是可导的，因为速度并没有在此刻断崖式增长。

不过呢，二阶可导但不连续了，（连续本身也是在数学分析里的重要概念，但是我这里还是一笔带过），可导是因为速度没有断崖式涨落，这里的不连续就是加速度不连续，很好理解，加速度从 2 突然变成 4 有断崖式增长，我们管这叫离散。（这句话请多揣摩几次）

而这里一阶导（即速度）几乎不受影响，一阶导即连续又可导，连续是因为速度没有过任何断崖式涨落，可导是因为位移量在时刻 t=2 这个点没有断崖式涨落。（这句话和上面那句差不多也可以多揣摩几次）。

总结一下：这个函数在时刻 t=2 三阶不可导（因为二阶导也就是加速度断崖式的增长，导致这个点三阶导无穷大）至于三阶导在这个点是否连续，你可以算一下左三阶导数和右三阶导数看是不是相等。相等就连续咯。二阶可导不连续，上面已介绍原因。一阶可导也连续，同样上面介绍过了。

3、结语

今天连续肝了两篇，其实这是我早就想写下来的东西，但是考研时间也抓的紧，同时又在打比赛，又有很多事情在烦扰我。我自认为是个想像力丰富的人，可以看到一些看似不相关的事物中的潜在联系。而想像力是有代价的，那就是敏感。考研没有考上对于我是理所当然，因为我不愿意把数学当成 “模式匹配”，看一个题匹配一个模式，通过看答案来训练自己的神经网络。现在是凌晨 3 点，我从来没有想过自己会做一件自己喜欢的事情，而做到忘记了时间，只有思想碰撞的瞬间，我才感到活着。

常例，欢迎指出文中的错误和问题，也欢迎和我交流相关问题。