Dijkstra--解决非负权边的单源最短路算法

前言

这是之前写过的一篇$Dijkstra$算法博客的重置版,最近正好在复习,发现了一些事实错误(我菜爆了),再加上当时用的是富文本编辑器写的,整体排版不太好看,于是干脆推到重写,以下是原文前言部分:

最近一直忙,没有时间写算法博客(其实是去水数据结构去了),今天睡前写一篇图论的基础算法吧,叫$Dijkstra$,是由荷兰计算机科学家$E.W.Dijkstra$于1959年提出的,因此叫$Dijkstra$算法.是求从一个源点到其余各顶点的最短路径算法,即单源最短路算法,解决的是图论中最短路径问题.

原理

对于一个有$m$条边,$n$个顶点的图,我们先定义如下描述,以表示一个图的某些关系:

源点$st$,表示算法所求最短路的出发顶点;

点集$V$,表示图中所有点构成的集合,其中$|V|=n$;

边集$E$,表示途中所有边构成的集合,其中$|E|=m$;

数组$dis[]$,表示源点$st$到其余点的最短路径,数组大小为$n$;

三元组$<u,v,w>$,表示有一条从$u$到$v$,权值为$w$的边,即 $u\to v=w$;

我们选择一个源点$st$,求它到其余所有点的最短路径,算法描述如下:

1. 初始化: 将源点到的所有顶点的最短距离设为$+\infty$,到自身为$0$: $\forall i\in V,dis[i]\to +\infty ,dis[st]=0$.
2. 找点松弛边: 寻找一个离源点$st$最近的且未使用过的点$i$,以该点为中间点松弛源点$st$到其他点的最短路径,松弛操作描述如下:$\forall <i,v,w>\in E,dis[v]=min(dis[v],dis[i]+w)$,标记$i$为用过的点.
3. 重复2,直到所有点都用过(松弛进行了$n-1$次).

在算法描述里提到了松弛这个概念,那么,什么是松弛呢?

所谓松弛,即寻找一个顶点$t$,使得从$st\to e$的最短路长度能通过$t$中转变成$st\to t\to e$,且长度缩短,那么我们就说$st\to e$的最短路通过t这个点松弛成功.比如$1\to 2$有长为$9$的路径,$1\to 3$有长为$1$的路径,$3\to 2$有长为$3$的路径,则通过$3$松弛