Bellman-Ford算法--解决负权边的单源最短路径算法

最新推荐文章于 2024-09-27 16:53:40 发布

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#算法

本文介绍了Bellman-Ford算法如何解决包含负权边的图中的单源最短路径问题。算法核心是通过多次遍历所有边来更新最短路径，最多进行n-1轮遍历。与Dijkstra算法不同，Bellman-Ford是对边而非顶点进行缩放。文中提供了一个结构体数组来存储边的信息，并给出了算法的核心代码。最后讨论了算法的优化方法，使用队列来减少不必要的遍历，保持最坏情况下的时间复杂度为O(M*N)。

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在http://blog.youkuaiyun.com/hacker_zhidian/article/details/54915152这篇博客中，我们用Dijkstra算法单源最短路径，但是Dijkstra算法对于存在负权边的图就无能为力了，接下来就是Bellman-Ford算法显威的时候了，因为它能解决存在负权边的图中的单源最短路径问题。Bellman-Ford算法的核心思想是：对图中所有的边进行缩放，每一次缩放更新单源最短路径。
我们依然通过一个例子来看：
这里写图片描述
假设存在这么一个有向图。图中有A 、B、C、D、E 五个顶点，有 A–>B（3）、A–>E（-2）、B–>D（5）、B–>C（2）、D–>C（1）、D–>E（4）这 6 条边。假设现在我们要求顶点A到其他顶点的最短路径，按照Bellman-Ford算法的思想：

我们要对所有的边进行“缩放”，首先找到第一条边：A–>B（3），那么对于顶点B，能不能通过顶点B使得顶点A到其他顶点的最短路径变短呢，在这里我们可以找到A–>B（3）来使得顶点A到顶点B的最短路径变短，于是我们更新顶点A到顶点B的最短路径。接下来我们再找第二条边，同样的A–>E（-2）可以使得顶点A到顶点E的最短路径变短，继续更新顶点A到顶点E的最短路径。重复刚刚的缩放过程。。。将所有的边缩放完了之后，重复上面的缩放过程。那么什么时候缩放结束呢。最多在缩放了n-1轮（n为图中顶点的总数）的时候就结束了（因为图中两个顶点中的边最多有n-1条）。