18、三次皮索数的β展开与多边形区域内的设施选址

三次皮索数的β展开与多边形区域内的设施选址

在数学和计算几何领域，三次皮索数的β展开以及多边形区域内的设施选址问题都有着重要的研究价值。下面我们将深入探讨这两个方面的内容。

三次皮索数的β展开

三次皮索数的β展开涉及到一系列复杂的数学推导和条件判断。

首先，当$m > 1$时，多项式$P(X)$和$\beta$ - 展开$d_{\beta}(1)$有特定的表达式：
- $P(X) = X^{m + 3}-(a - 1)X^{m + 2}-(a + b - 1)X^{m + 1}-\sum_{i = 3}^{m}(a + b + c - 1)X^{i}-(a + b + c)X^{2}-(b + c)X - c$
- $d_{\beta}(1) = d_1d_2…d_{m + 2}d_{m + 3}^{\omega}$，其中：
- $d_1 = a - 2$
- $d_2 = 2a + b - 3$
- 当$m \geq 3$，$3 \leq i \leq m$时，$d_{m + 3 - i} = 2a + b - 3 + (m + 1 - i)(a + b + c - 1)$
- $d_{m + 1} = 2a + b - 2 + (m - 1)(a + b + c - 1)$
- $d_{m + 2} = a + b - 1 + m(a + b + c - 1)$
- $d_{m + 3} = (m + 1)(a + b + c - 1)$

通过一系列的条件推导，我们可以得到关于$d_i$的一些性质：
- 由$b(k - 1) + c(k - 2) > (k