4、线性滤波器的多元应用解析

线性滤波器的多元应用解析

1. 线性数字滤波器的广泛应用

线性数字滤波器在信号处理领域有着极为广泛的应用，常见的如对时域信号进行特定频率范围的衰减，包括高通、低通、带通和带阻滤波等。除此之外，它还有许多其他重要应用，下面将详细介绍几种常见的应用场景。

1.1 状态变量理论

状态变量理论在数字系统建模中十分重要。状态变量能够全面描述系统的动态特性，它可以代表几乎任何物理量，只要这组状态变量能提供确定系统未来状态和输出所需的最少信息。

在数字系统中，状态变量的概念源于模拟电子控制系统。线性时不变系统既可以用参数模型（如 ARMA 系统）描述，也可以用线性微分方程（如状态变量形式）来表示。一个 $N$ 阶函数多项式可以通过 $N + 1$ 个输入输出样本，或者一个样本点的值及其 $N$ 阶导数来完全描述。

在早期的模拟控制系统中，状态变量常以导数的形式存在，因为可以通过积分器（单极点低通滤波器）将各个状态元素连接起来。不过，随着数字时代的到来，数字控制器凭借其高可靠性和一致性，几乎完全取代了模拟控制器。在数字控制系统中，状态变量可以是系统的中间信号，而不一定是系统导数的具体表示，但也有例外，如 $\alpha - \beta$ 非自适应位置跟踪滤波器和自适应卡尔曼跟踪滤波器，它们的状态就是底层系统模型的导数。

对于一个通用的状态变量数字滤波器，在第 $k$ 次迭代时，有 $r$ 个输入 $u(k)$、$m$ 个输出 $y(k)$ 和 $n$ 个系统状态 $x(k)$。系统在 $k + 1$ 时刻的状态与当前状态和输入信号存在如下函数关系：
[
x(k + 1) = f[x(k), u(k)] = Ax(