13、线性规划：从基础到实践

线性规划：从基础到实践

在许多实际问题中，我们常常需要在一系列约束条件下找到最优解，线性规划就是解决这类问题的有效工具。本文将深入探讨线性规划的相关知识，包括标准形式、规范形式、单纯形法以及整数规划等内容。

线性规划基础与标准形式

在求解线性规划问题时，我们通常会发现最优解往往出现在可行域的顶点处。例如，当我们通过移动直线穿过可行域来寻找问题的解时，就会发现这个规律。这个原理同样适用于更复杂的问题，比如涉及三个变量的问题，可行域会是一个由平面组成的三维形状，目标函数就像一个平面在多面体图形中移动，并在某个顶点处达到最大值。

不过，直接对每个可行顶点的目标函数进行求值并找出最大值，对于小规模问题或许可行，但对于大规模问题则完全不切实际。例如，一个仅有16个问题变量和20个非平凡约束条件的线性规划问题，就需要检查约70亿个平凡和非平凡约束条件的交点。因此，我们需要一种更巧妙的方法。

为了采用代数方法解决线性规划问题，我们需要将问题表示为一种通用形式，即标准形式。对于涉及 $n$ 个变量 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 的线性规划问题，目标函数 $z$ 可以表示为 $z = c_1x_1 + c_2x_2 + \cdots + c_nx_n$。其中，$x_1, x_2, \cdots, x_n$ 被称为问题变量，$c_1, c_2, \cdots, c_n$ 被称为成本。由于最大化 $z$ 的问题与最小化 $-z$ 的问题是等价的，我们通常假设问题是寻找一组问题变量的值，使得目标函数最大化。必要时，我们可以将每个 $c_i$ 替换为 $-c_i$，并忽略任何固定价格（恒定开销）成本。此外，为了进一步标准化，我们使用 $\leq$ 符号表示所有非平凡约束条件，