5、非线性方程求根方法全解析

非线性方程求根方法全解析

1. 引言

在处理非线性方程时，我们的目标是找到函数 ( f(x) ) 的根，也就是求解方程 ( f(x) = 0 )。以 Butler–Volmer 方程为例，它在电化学过程中描述了电流密度和电位的关系，其表达式为 ( f(x) = e^{\alpha x} - e^{-(1 - \alpha)x} - \beta )。我们具体求解 ( f(x) = e^{0.2x} - e^{-0.8x} - 2 = 0 )。

2. 二分法

二分法是求解非线性方程根的最简单方法。其基本思路是：从包含根的区间开始，将区间分成左右两半，判断哪一半包含根，然后继续对该半区间进行分割，重复此过程，直到区间缩小到满足所需的精度。
- 操作步骤 ：
1. 找到一个区间 ( [a, b] )，使得 ( f(x) = 0 ) 在该区间内有根。
2. 计算区间中点 ( x^ = \frac{a + b}{2} )。
3. 计算 ( f(x^ ) )。
4. 进行收敛性测试。
5. 如果 ( f(x^ ) ) 和 ( f(b) ) 符号相反，则令 ( a = x^ )；否则，令 ( b = x^* )。
6. 重复步骤 2。

(a)	(b)	( \frac{a + b}{2} )	(f(a))	(f(\frac{a + b}{2}))