2、随机图作为网络模型的应用与分析

随机图作为网络模型的应用与分析

1. 引言

随机图是网络研究中历史悠久且被广泛研究的模型。在20世纪50 - 60年代，Paul Erdős和Alfréd Rényi提出并研究了随机图模型。其中最常见的是 $G_{n,p}$ 模型，在该模型中，任意两个顶点间的每条可能边独立以概率 $p$ 存在，以概率 $1 - p$ 不存在。顶点的平均度 $z$ 与 $p$ 的关系为 $z = (n - 1)p \approx np$（$n$ 很大时），所以已知 $n$ 时，能用 $z$ 表达的性质也能用 $p$ 表达。

随机图作为网络模型有很多理想特性，在 $n$ 很大时，其许多整体平均性质可精确计算。例如，当 $z$ 增加时，模型会出现相变，形成巨分量。当 $z$ 较小时，图中边少，顶点大多相互断开，分量小；当 $z$ 超过临界值（$z = 1$），图中最大的分量包含有限比例 $S$ 的顶点，即巨分量，其大小 $nS$ 与图的整体大小成线性比例。

不过，随机图与现实世界网络存在根本差异：
- 聚类系数 ：现实世界网络有强聚类或网络传递性，而随机图没有。Watts和Strogatz定义了聚类系数 $C$ 来衡量聚类情况，现实网络中 $C$ 值较高，而随机图中 $C = p \approx z/n$。不同现实网络与对应随机图的聚类系数对比见下表：
| 网络 | 顶点数 $n$ | 平均度 $z$ | 实测聚类系数 | 随机图聚类系数 |
| — | — | — | — | — |
| 互联网（自治系统） | 6374 | 3.8 | 0.24 | 0.00060 |
| 万维网（网站） | 153127 |