17、结合整数规划的变邻域搜索求解带设置成本的 0 - 1 多选择背包问题

结合整数规划的变邻域搜索求解带设置成本的 0 - 1 多选择背包问题

1. 引言

带设置成本的 0 - 1 多选择背包问题（MCKS）是一种在目标函数和约束条件中都考虑了额外设置变量的背包问题。它在涉及设置和机器偏好的生产调度问题中有实际应用。MCKS 是 NP 难问题，因为它是标准背包问题（KP）的推广。当只考虑一个类别且无设置变量时，MCKS 退化为 KP；当周期数等于 1 时，带设置成本的背包问题（KPS）是 MCKS 的一个特例。

为解决不同变体的 KP 问题，文献中引入了多种精确技术，如分支定界算法、拉格朗日分解和动态规划等，也开发了近似算法，如反应式局部搜索技术、禁忌搜索、粒子群优化等。此外，精确方法和元启发式方法的混合技术也被许多研究人员采用。然而，将变邻域搜索（VNS）与精确技术结合用于 KPS 问题尚未被研究过。

2. 问题描述

多选择背包问题由背包容量 (b \in N)、一组 (T) 个分区（周期）以及 (N) 类物品定义。每类 (i \in {1, \ldots, N}) 包含 (n_i) 个物品。设 (f_{it}) 为第 (i) 类在第 (t) 个分区的设置成本（负数），(d_i) 为第 (i) 类的设置容量消耗（正数）。每类 (i) 中的每个物品 (j \in {1, \ldots, n_i}) 有利润 (c_{ijt} \in N) 和容量消耗 (a_{ij} \in N)。

我们使用两组二进制决策变量 (y_{it}) 和 (x_{ijt}) 来分别表示类和物品分配到背包分区的情况。(y_{it}=1) 表示第 (t) 个分区包含第 (i) 类的物品，否则为 0；(x_{ijt}=1) 表示第 (i)