5、最大割团问题的复杂性与启发式算法解析

最大割团问题的复杂性与启发式算法解析

1. 问题定义

• 最大团问题（MAX - CLIQUE） ：给定一个图 $G = (V, E)$ 和一个实数 $K$，问题是是否存在一个团 $C \subseteq V$，使得 $|C| \geq K$。
• 最大割团问题（MCC） ：给定一个图 $G = (V, E)$ 和一个实数 $K$，问题是是否存在一个团 $C \subseteq G$，使得 $|\delta(C)| \geq K$。这里 $\delta(C)$ 表示由节点集 $C$ 产生的割，或者当 $C$ 是团时 MCC 的目标值。

2. MCC 的复杂性

MCC 属于 NP 完全问题。证明思路是将 MCC 与 MAX - CLIQUE 进行关联，通过构造一个新图 $H$，若能找到 MCC 的多项式时间算法，就能在 $H$ 中找到最大割团，而这个最大割团必然属于原图 $G$，且其大小对应 MAX - CLIQUE 的大小，从而证明 MCC 至少和 MAX - CLIQUE 一样难，又因为 MCC 属于 NP 决策问题，所以它属于 NP 完全类。

3. MCC 的边界

• 严格单峰序列 ：有限序列 ${a_i} {i = 0}^n$ 是严格单峰的，如果存在某个索引 $k_0 \in {0, \ldots, n}$，使得 $a_0 < a_1 < \cdots < a {k_0}$ 且 $a_{k_0} \geq a_{k_0 +