4、布尔函数乘法复杂度与SIMON块密码灵活架构研究

布尔函数乘法复杂度与SIMON块密码灵活架构研究

布尔函数的仿射变换与等价类

在布尔函数的研究中，仿射变换是一个重要的概念。从函数 (g) 到 (f) 在 (B_n) 中的仿射变换定义为 (f(x) = g(Ax + a) + b · x + c)，其中：
- (A) 是 (F_2) 上的非奇异 (n × n) 矩阵；
- (x) 和 (a) 是 (F_2) 上的列向量；
- (b) 是 (F_2) 上的行向量；
- (c \in F_2)。

这种变换定义了 (n) 变量布尔函数集合上的一个等价关系。如果两个函数 (f) 和 (g) 之间存在仿射变换，则称它们是仿射等价的，仿射等价的布尔函数属于同一等价类。

可以通过穷举搜索来构建小 (n) 值下的等价类。例如，三变量布尔函数可分为三个等价类，代表元为 ({x_1, x_1x_2, x_1x_2x_3})。不同 (n) 值下的等价类数量如下表所示：
| (n) | (|B_n|) | # of equivalence classes |
| — | — | — |
| 3 | (2^8) | 3 |
| 4 | (2^{16}) | 8 |
| 5 | (2^{32}) | 48 |
| 6 | (2^{64}) | 150 357 |
| 7 | (2^{128}) | 63 379 147 320 777 408 548（介于 (2^{65}) 和 (2^{66}) 之间） |

一些密码学度量，如非线性度、代数次数和代数免疫性，在应用仿射变换后保持不变，这些度量被称为仿射不变量。