35、递归：原理、应用与追踪

递归：原理、应用与追踪

递归是编程中一个强大且重要的概念，它允许函数调用自身，为解决复杂问题提供了简洁而自然的方法。本文将深入探讨递归的本质、应用场景以及如何追踪递归函数的执行过程。

1. 递归的本质

递归函数是指那些调用自身或在函数调用序列中形成循环的函数。递归可以作为迭代（循环）的替代方法，但通常在计算机时间方面，递归解决方案的效率低于迭代解决方案，因为额外的函数调用会带来开销。然而，在许多情况下，递归能让我们为原本难以解决的问题提供非常自然、简单的解决方案。

适合递归解决的问题通常具有以下特点：
- 问题存在一个或多个简单情况，这些情况有直接的、非递归的解决方案。
- 其他情况可以重新定义为更接近简单情况的问题。
- 通过每次调用递归函数时应用这种重新定义的过程，最终问题会完全简化为简单情况，而这些简单情况相对容易解决。

递归算法通常由以下形式的 if 语句组成：

if 这是一个简单情况
    解决它
else
    使用递归重新定义问题

1.1 乘法示例

假设我们知道加法表但不知道乘法表，要解决 6 乘以 3 的问题。我们知道任何数乘以 1 都等于原数，这就是简单情况。6 乘以 3 的问题可以拆分为两个子问题：
1. 6 乘以 2。
2. 将 6 加到问题 1 的结果上。

问题 1 又可以进一步拆分为：
1.1 6 乘以 1。
1.2 将 6 加到问题 1.1 的结果上。