17、行列式与积和式复杂度探究

行列式与积和式复杂度探究

在计算复杂性理论中，行列式（determinant）和积和式（permanent）的复杂度比较是一个重要的研究方向。本文将深入探讨它们在不同复杂度类中的性质，以及相关的多项式和几何概念。

1. 复杂度类与多项式归约

首先，我们来了解一些基本的复杂度类和多项式归约的概念。对于一个复杂度类 $C$，如果一个多项式序列 $(p_n)$ 可以归约到 $C$ 中的每一个序列 $(f_m)$，则称 $(p_n)$ 对 $C$ 是困难的；如果 $(p_n)$ 还属于 $C$，则称 $(p_n)$ 对 $C$ 是完全的。

例如，有以下结论：
- 每个次数为 $d$ 的多项式都可以归约到 $x^d$。
- 定理 ：积和式序列 $(perm_m)$ 对复杂度类 $VNP$ 是完全的。这意味着积和式在 $VNP$ 复杂度类中具有重要地位。
- 猜想 ：不存在多项式规模的电路来计算积和式。这个猜想与积和式的复杂度密切相关，如果该猜想成立，说明积和式的计算复杂度较高。

对于行列式，有命题表明 $(det_n) \in VP$，即行列式属于复杂度类 $VP$。不过，行列式是否对 $VP$ 是完全的目前还未知。虽然可以通过高斯消元法快速计算行列式，但该算法不是一个电路，因为其中包含除法操作，并且需要检查主元是否为零。

2. 对称多项式

对称多项式是一类常见的多项式。设 $S_N$ 通过置换基元素作用在 $\mathbb{C}^N$ 上，这会诱导出对多项式环 $\mathbb{C}[x_1, \ldots, x_N]$