寡头垄断市场产量竞争模型：古诺与斯塔克尔伯格模型深度解析

最新推荐文章于 2025-05-04 14:28:46 发布

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分类专栏： Matlab数学建模编程实验文章标签：数学建模寡头垄断市场博弈论古诺竞争模型斯塔克尔伯格模型

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内容摘要

本文聚焦寡头垄断市场中的产量竞争问题，系统解析古诺竞争模型与斯塔克尔伯格竞争模型的核心假设、建模逻辑及均衡求解方法。通过构建线性需求函数与成本函数，结合具体实例演示模型推导过程，并利用MATLAB实现数值求解。
关键词：寡头垄断市场；古诺竞争模型；斯塔克尔伯格模型；产量竞争；博弈论

一、引言

在寡头垄断市场中，少数几家厂商占据主导地位，其产量决策相互影响、彼此制约，形成复杂的博弈关系。古诺竞争模型（Cournot Model）与斯塔克尔伯格竞争模型（Stackelberg Model）是描述寡头产量竞争的两大经典理论，前者假设厂商同时决策，后者引入决策先后顺序，刻画领导厂商与跟随厂商的策略互动。本文将深入剖析两种模型的核心机制，通过数学建模与MATLAB实例求解，揭示寡头市场产量竞争的内在规律。

二、古诺竞争模型：同时决策下的产量均衡

2.1 模型基本假设

古诺模型由法国经济学家奥古斯汀·古诺（Augustin Cournot）于1838年提出，作为寡头理论的基础框架，其核心假设有：

市场结构：仅两家厂商（A和B）生产同质产品，合称“双头模型”，可推广至n家厂商；
信息对称：双方完全知晓市场需求曲线与彼此成本函数；
策略变量：以产量为决策变量，假设对方产量固定，追求自身利润最大化；
成本结构：两厂商生产成本相同，设为线性成本函数 $C = c p$ （ $p$ 为产量， $c$ 为单位成本）。

2.2 市场需求与利润函数构建

设市场需求函数为线性形式：
$D = a - b(p_1 + p_2)$
其中， $p_1$ 、 $p_2$ 分别为厂商A和B的产量， $a$ 为市场容量， $b$ 为需求价格弹性系数。
厂商A的利润函数为：
$\pi_1 = p_1 \cdot \text{价格} - \text{成本} = p_1 \left( a - b(p_1 + p_2) \right) - cp_1$
同理，厂商B的利润函数为：
$\pi_2 = p_2 \left( a - b(p_1 + p_2) \right) - cp_2$

2.3 反应函数与古诺均衡求解

2.3.1 反应函数推导

厂商A在假设厂商B产量为 $p_2$ 的前提下，通过求利润函数的一阶导数极值，得到最优产量：
$\frac{\partial \pi_1}{\partial p_1} = a - 2bp_1 - bp_2 - c = 0$
解得厂商A的反应函数：
$p_1 = f(p_2) = \frac{a - c - bp_2}{2b}$
同理，厂商B的反应函数为：
$p_2 = g(p_1) = \frac{a - c - bp_1}{2b}$

2.3.2 古诺均衡计算

联立两个反应函数，求解方程组：
$\begin{cases} p_1 = \frac{a - c - bp_2}{2b} \\ p_2 = \frac{a - c - bp_1}{2b} \end{cases}$
解得对称均衡产量：
$p_1^* = p_2^* = \frac{a - c}{3b}$
此时市场总产量为 $\frac{2(a - c)}{3b}$ ，价格为 $b(p_1^* + p_2^*) = \frac{a + 2c}{3}$ 。

2.4 实例分析：双寡头市场产量决策

2.4.1 问题设定

假设市场需求函数为：
$D = 61.2 - 10(p_1 + p_2)$
两厂商的成本函数均为：
$C = 1.2 p$
即 $a = 61.2$ ， $b = 10$ ， $c = 1.2$ 。

2.4.2 反应函数求解

厂商A的反应函数：
$p_1 = \frac{61.2 - 1.2 - 10p_2}{2 \times 10} = \frac{60 - 10p_2}{20} = 3 - 0.5p_2$
厂商B的反应函数：
$p_2 = 3 - 0.5p_1$

2.4.3 均衡产量计算

联立方程 $p_1 = 3 - 0.5p_2$ 和 $p_2 = 3 - 0.5p_1$ ，解得：
$p_1^* = p_2^* = 2$
即古诺均衡时，两厂商产量均为2单位，市场总产量为4单位，价格为 $\times 4 = 21.2$ ，各厂商利润为 $\times 21.2 - 1.2 \times 2 = 40$ 。

三、斯塔克尔伯格竞争模型：序贯决策下的产量博弈

3.1 模型核心特征

斯塔克尔伯格模型由德国经济学家海因里希·斯塔克尔伯格（Heinrich Stackelberg）于1934年提出，与古诺模型的关键区别在于：

决策顺序：厂商1（领导厂商）先决定产量，厂商2（跟随厂商）观察到厂商1的产量后再决策；
策略逻辑：领导厂商需预判跟随厂商的反应，将其反应函数纳入自身优化问题，追求利润最大化。

3.2 建模步骤：从跟随厂商到领导厂商

3.2.1 跟随厂商（厂商2）的反应函数

给定领导厂商产量 $p_1$ ，厂商2的利润函数为：
$\pi_2 = p_2 \left( a - b(p_1 + p_2) \right) - cp_2$
求导得反应函数（与古诺模型相同）：
$p_2 = g(p_1) = \frac{a - c - bp_1}{2b}$

3.2.2 领导厂商（厂商1）的优化问题

将跟随厂商的反应函数代入领导厂商的利润函数：
$\pi_1 = p_1 \left( a - b \left( p_1 + \frac{a - c - bp_1}{2b} \right) \right) - cp_1$
化简后为单变量优化问题，求导得最优产量：
$p_1^* = \frac{a - c}{2b}$
跟随厂商的最优产量为：
$p_2^* = \frac{a - c - bp_1^*}{2b} = \frac{a - c}{4b}$

3.3 实例分析：领导-跟随模式下的产量决策

3.3.1 问题设定

沿用古诺模型的参数： $a = 61.2$ ， $b = 10$ ， $c = 1.2$ ，假设厂商1为领导厂商，厂商2为跟随厂商。

3.3.2 跟随厂商反应函数

$p_2 = \frac{60 - 10p_1}{20} = 3 - 0.5p_1$

3.3.3 领导厂商优化模型

将 $p_2 = 3 - 0.5p_1$ 代入厂商1的利润函数：
$\pi_1 = p_1 \left( 61.2 - 10(p_1 + 3 - 0.5p_1) \right) - 1.2p_1 = p_1 (31.2 - 5p_1) - 1.2p_1 = 30p_1 - 5p_1^2$
求导得极值点：
$\frac{d\pi_1}{dp_1} = 30 - 10p_1 = 0 \implies p_1^* = 3$
跟随厂商产量：
$p_2^* = 3 - 0.5 \times 3 = 1.5$

3.3.4 MATLAB求解实现

利用MATLAB的fmincon函数求解约束优化问题，目标函数需转换为最小化形式：

% 定义目标函数（负利润，求最大值转化为求最小值）
function f = stackelberg_obj(x)
    p1 = x(1);
    p2 = 3 - 0.5 * p1;  % 跟随厂商反应函数
    f = -(p1 * (61.2 - 10*(p1 + p2)) - 1.2 * p1);
end

% 求解优化问题
x0 = [2];  % 初始猜测
[x, fval] = fmincon(@stackelberg_obj, x0, [], [], [], [], 0, Inf);

运行结果：
$p_1 = 3, \quad p_2 = 1.5, \quad \text{利润} = 45$
对比古诺均衡，领导厂商产量增加，利润提升（45 vs 40），跟随厂商产量下降，利润减少（ $1.5 \times (61.2 - 10 \times 4.5) - 1.2 \times 1.5 = 27$ vs 40），体现了先动优势。

四、两种模型的对比分析

特征	古诺模型	斯塔克尔伯格模型
决策顺序	同时决策	领导厂商先决策，跟随厂商后决策
均衡性质	纳什均衡	子博弈完美纳什均衡
产量关系	对称均衡（ $p_1 = p_2$ ）	领导厂商产量 > 跟随厂商产量
市场效率	总产量较低，价格较高	总产量较高，价格较低
适用场景	无主导厂商的对称市场	存在明显领导厂商的行业

4.1 先动优势的来源

斯塔克尔伯格模型中，领导厂商通过承诺产量（不可逆转的决策）迫使跟随厂商调整策略，将其反应函数纳入自身优化，从而占据策略优势。这种优势在实际中表现为核心企业（如行业龙头）通过产能扩张、技术投资等手段建立先发优势。

4.2 均衡产量与社会福利

古诺均衡与斯塔克尔伯格均衡均非社会最优（社会最优产量为竞争均衡产量 $\frac{a - c}{b}$ ），但斯塔克尔伯格模型的总产量更接近竞争均衡，表明序贯决策可能提升市场效率，减少垄断福利损失。

五、扩展：多厂商古诺模型与行业均衡

当市场中存在 $n$ 家厂商时，古诺均衡产量为：
$p_i^* = \frac{a - c}{(n + 1)b}$
市场总产量为 $\frac{n(a - c)}{(n + 1)b}$ ，随厂商数量增加，总产量趋近于竞争均衡（ $\to \infty$ 时， $p_i^* \to 0$ ，总产量 $\to \frac{a - c}{b}$ ）。
这一结论为分析行业集中度与市场竞争程度提供了理论工具，例如，垄断（ $n = 1$ ）时产量为 $\frac{a - c}{2b}$ ，双寡头（ $n = 2$ ）时产量为 $\frac{2(a - c)}{3b}$ ，符合“厂商越多，竞争越激烈”的直觉。