函数递归之青蛙跳台阶问题

一、题目：

一个青蛙一次只能向上跳一级或者跳两级台阶
问：这个青蛙跳上n级台阶有多少种跳法

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二、解题：

分析：

我们将跳法的个数叫做F(n)，不妨从n比较下的时候寻找一下规律

n	F(n)
1	1
2	2
3	3
4	5
5	8
6	13
7	21

往下列举不难发现每一项都是其前面两项的和，所以这个问题就可以看作从第二项开始的斐波那契数列

那么为什么会这样呢？
想要跳到第n级台阶，无非就是从第n-1级台阶向上跳一级，或者从第n-2级台阶往上跳两级，即
F(n)=F(n-1)+F(n-2)，以此类推，F(n-1)=F(n-2)+F(n-3)…直到n=1,2 F(1)=1,F(2)=2；
这就是函数的递归：当我们想要的到这个函数的结果时需要再次调用者函数。

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代码的实现

int frog_times(int a)
{
	if (1 == a)
		return 1;
	if (2 == a)
		return 2;
	if (a > 2)
		return frog_times(a - 1) + frog_times(a - 2);
}
int main()
{
	int n = 0;
	scanf("%d", &n);
	printf("跳到第%d级台阶共有%d种跳法\n ", n, frog_times(n));
	return 0;
}

但是我们在运行较大的数时发现，同一个frog_times会被重复计算许多次

可以发现当n=40时F(3)被计算了39088169次！！！！这大大拖慢了程序的进程
实际上我们只需要计算一次F(3)即可，下面是优化的代码

int frog_times(int i)
{
	int a = 1;
	int b = 2;
	int c = 0;
	while (i > 2)
	{
		c = a + b;
		a = b;
		b = c;
		i--;
	}
	if (a == 1)
		return a;
	if (b == 2)
		return b;
	return c;
}
int main()
{
	int n = 0;
	scanf("%d", &n);
	printf("跳到第%d级台阶共有%d种跳法\n ", n, frog_times(n));

	return 0;

}