前缀和&差分数组（详解）

前言

看了很多视频之后，我觉得不论学习什么算法都应该明确一个对于算法学习的框架，避免很多时候自己都不知道自己在干嘛，很混乱，这里我自己总结了一下：
1.首先最重要的就是搞清楚为什么我们要学习这个算法
（比如举个例子，对于可以用二分查找来解决的问题，我们一般一开始不会就直接去用二分查找，而是先用暴力的解法先写出来看一看，分析一下时间和空间复杂度如何，再去考虑如何去优化它，比如从O(n)->O(1)就是非常大的提升）
2.然后才对于一些细节的把控

前缀和

引入（一维前缀和）

首先对于这个题目 如果你没有学过前缀和，对于这个问题可能就是会用暴力的方法，思路就非常的原始：比如要求计算区间【3,5】的元素的和，我们就遍历这个数组，定义一个sum，起点是3，终点是5，sum【i】++就行了，但是对于数组长度为n，遍历完询问区间和的次数是m，那么时间复杂度就是O(mn)！所以我们就要想办法去优化他，前缀和就是一个非常好的方法。
对于前缀和我的理解：对于长长的火车，一开始只有一节火车头，后面慢慢的一节一节往上接，每接一次然后求他的长度的过程 就是我们求前缀和数组的过程。
至于前缀和数组有什么作用，其实是非常好理解的，我们用O（n）的时间复杂度来遍历来创建所谓的前缀和数组，此时还是原来的问题如果我们要求某个区间的和，直接就是return右端点减去左端点就可以了，此时只需要O（1）即可。*

代码示例:视频

为什么L需要-1？
举个例子就能简单明白了
比如要你求的是【3,4】的区间和，我们需要用sum【4】也就是从下标0一直加到4的和减去sum【2】，如果减去的是sum【3】，那么求出的就直接是数组元素a【4】了，希望大家能够理解
下面这种方法是labuladong的题解，对于上述的问题进行了优化，可以称之为数组的偏移，使得前缀和数组presum从0开始递增，从而与原数组sum一一对应，但是思路依旧是不变的

#include <vector>

class NumArray {
   
    // 前缀和数组
    std::vector<int> preSum;

    // 输入一个数组，构造前缀和
    public:
    NumArray(std::vector<int>& nums) {
   
        // preSum[0] = 0，便于计算累加和
        preSum.resize(nums.size() + 1);
        // 计算 nums 的累加和
        for (int i = 1; i < preSum.size(); i++) {
   
            preSum[i] = preSum[i - 1] + nums[i - 1];
        }
    }

    // 查询闭区间 [left, right] 的累加和
    int sumRange(int left, int right) {
   
        return preSum[right + 1] - preSum[left];
    }
};

二维前缀和

从名字就能看出来二维其实就是从一行或者一列的区间和问题
升维成了一个大矩阵的中 子矩阵和的问题 但是其实思想是一样的

对