P6269 [SHOI2002] 空中都市(题解)

题目描述

在未来的空中都市中，有很多个小岛（城区）。现在要求在这些小岛之间架一座桥梁，每座桥是指在两个岛之间的通道。

有个约定，如果A与B之间有桥，B与C之间有桥，则 A 与 C 之间就不能再架桥了，即对于城市中的任意三个岛，不能在其中的两两之间都架上桥。在这样的约定下，要求架的桥的数量最多。当然不必考虑具体的空间结构问题。

输入格式

输入文件只包含一行，其中仅包含一个非负整数(0≤1000)n(0≤n≤1000)，表示小岛的数量。

输出格式

输出文件也只包含一行，即表示最多能架设的桥梁数量。

• 1. 数学模型构建
     • 这个问题可以转化为图论中的一个问题。我们要在个顶点（代表小岛）之间构建边（代表桥），同时满足对于任意三个顶点，不能两两之间都有边相连的条件，求边数的最大值。
     • 当时，显然桥的数量为。当时，桥的数量为。当时，根据条件只能有条边（比如连接顶点和，顶点和，但不能连接顶点和）。
  2. 寻找规律
     • 我们发现当较大时，为了满足条件且使桥的数量最多，我们可以将这些小岛分成两组，使得同一组内的小岛之间不架桥，只在两组之间架桥。假设将个小岛分成两组，一组有个小岛，另一组有个小岛。
     • 那么桥的数量就是。我们需要找到使得最大。对于二次函数，其对称轴为（当为偶数时）或者与（当为奇数时）时取得最大值。

  二、C++ 代码实现

  #include <iostream>
  
  using namespace std;
  
  int main()
  
  {
  
      int n;
  
      cin >> n;
  
      if (n <= 2) {
  
          cout << n - 1 << endl;
  
      } else
  
     {
  
          cout << (n / 2)*(n - n / 2) << endl;
  
     }
  
     return 0;
  
  }

• 1. 代码解释
     • 首先我们读入小岛的数量。
     • 如果，当时桥数为，当时桥数为，所以直接输出。
     • 当时，我们按照上述分析，计算（为偶数）或者（为奇数）时的值并输出。

  三、算法复杂度分析

  1. 时间复杂度
     • 程序中只进行了简单的读入、判断和计算操作，时间复杂度为，因为不管输入的是多少，计算步骤都是固定的，不随的增大而增加计算步骤。
  2. 空间复杂度
     • 程序中只使用了几个固定大小的变量（和一些临时变量用于计算），空间复杂度为。