598. 区间加法 II

给你一个 m x n 的矩阵 M 和一个操作数组 op 。矩阵初始化时所有的单元格都为 0 。ops[i] = [ai, bi] 意味着当所有的 0 <= x < ai 和 0 <= y < bi 时, M[x][y] 应该加 1。

在 执行完所有操作后 ,计算并返回 矩阵中最大整数的个数 。

示例 1:

输入: m = 3, n = 3,ops = [[2,2],[3,3]]
输出: 4
解释: M 中最大的整数是 2, 而且 M 中有4个值为2的元素。因此返回 4。

示例 2:

输入: m = 3, n = 3, ops = [[2,2],[3,3],[3,3],[3,3],[2,2],[3,3],[3,3],[3,3],[2,2],[3,3],[3,3],[3,3]]
输出: 4

示例 3:

输入: m = 3, n = 3, ops = []
输出: 9

提示:

  • 1 <= m, n <= 4 * 104
  • 0 <= ops.length <= 104
  • ops[i].length == 2
  • 1 <= ai <= m
  • 1 <= bi <= n

代码:

class Solution {
public:
    int maxCount(int m, int n, vector<vector<int>>& ops) {
        int minx = m;
        int miny = n;
        for (auto& i : ops) {
            minx = min(minx, i[0]);
            miny = min(miny, i[1]);
        }
        return minx * miny;
    }
};

<think>嗯,用户想解决关于区间加法区间查询的问题,需要实现支持这两种操作的数据结构或算法。我需要仔细分析这个问题,并给出合适的解决方案。 首先,区间加法区间查询通常出现在需要对数组进行多次范围更新和求和的场景中。常见的解决方法有几种,比如差分数组、线段树和树状数组。我需要逐一考虑它们的适用性。 差分数组的方法我记得是适用于区间更新,但查询可能需要重新计算前缀和。比如,差分数组diff[i] = arr[i] - arr[i-1],这样对区间[l, r]加上v时,只需要在diff[l]加v,在diff[r+1]减v。但每次查询需要累加差分数组到原数组,如果频繁查询的话,时间复杂度可能较高,尤其是单点查询还可以,但区间查询需要O(n)时间,这可能不够高效。所以如果问题中区间查询的次数很多,差分数组可能不是最优选择。[^3] 接下来是线段树。线段树是一种二叉树结构,每个节点代表一个区间,可以高效处理区间查询和更新。特别是支持延迟标记(Lazy Propagation),可以在O(log n)的时间内完成区间更新和查询。这对于多次操作来说效率更高。用户提供的引用中也提到了线段树的实现,支持区间加法和求和操作,使用惰性标记来处理延迟更新。[^2][^4] 还有树状数组,不过树状数组通常更擅长处理前缀和和单点更新,如果要进行区间更新和区间查询,可能需要使用两个树状数组来实现,这可能稍微复杂一些。但对于这个问题,可能线段树更直观。 所以,综合考虑,用户需要的是一个能够高效处理区间加法区间查询的数据结构,线段树应该是比较合适的选择,特别是当操作次数较多时,时间复杂度较低。而差分数组可能更适合于多次更新但查询较少的场景,或者当需要离线的处理方式。 接下来,我需要给出具体的实现方法。根据引用中的例子,使用非递归线段树可能更高效,但实现起来可能复杂一些。不过递归线段树的结构更容易理解,适合教学。例如,每个节点存储区间的左右边界、区间和以及延迟标记。在更新时,如果当前节点区间完全包含在目标区间内,就更新该节点的值并标记延迟标记。查询时同样利用延迟标记来传递更新。 然后,具体的代码实现部分需要注意构建线段树的步骤,初始化节点数组,更新和查询函数的递归或非递归实现。同时,延迟标记的处理是关键,需要在适当的时候下放标记到子节点,避免重复计算。 例如,在Python中实现递归线段树的话,可能需要一个类,包含构建、更新和查询的方法。初始化时根据数组长度构建树的结构,每个节点保存左右边界、和以及延迟标记。更新函数会递归地检查当前节点的区间是否完全在目标区间内,如果是则更新和延迟标记,否则分割区间到左右子节点,并下放延迟标记。查询函数类似,递归地累加覆盖目标区间的节点的和。 另外,用户提供的引用[4]中提到了使用线段树来解决区间加法的问题,这进一步支持了线段树作为解决方案的正确性。同时,差分数组的方法可能更适用于某些特定情况,比如当最终只需要一次查询或者操作可以批量处理时。 总结来说,解决方案有两种主要方法:差分数组和线段树。需要根据具体的操作频率来选择。如果查询和更新都很频繁,线段树更优;如果更新多而查询少,或者可以离线处理,差分数组可能更简单高效。此外,树状数组也可以考虑,但实现起来可能需要更多的技巧。 最后,在代码示例部分,给出线段树的实现会比较全面,同时也可以提到差分数组的方法作为备选方案,让用户根据实际需求选择。此外,需要注意代码的正确性,比如处理边界条件,延迟标记的下放时机等,确保逻辑正确。</think>### 支持区间加法区间查询的实现方法 针对区间加法(Range Update)和区间求和(Range Query)操作,以下是两种主流实现方式,根据具体需求选择合适的方法: --- #### **方法 1: 差分数组** **适用场景**:频繁区间更新,但查询操作较少或允许离线处理(先完成所有更新再查询)。 ##### 实现步骤 1. **定义差分数组**:对于原数组 $arr$,差分数组 $diff$ 满足: $$diff[i] = \begin{cases} arr[0] & i=0 \\ arr[i] - arr[i-1] & i \geq 1 \end{cases}$$ 2. **区间加法**:对区间 $[l, r]$ 增加 $v$ 时,只需操作差分数组: $$diff[l] \mathrel{+}= v \quad \text{和} \quad diff[r+1] \mathrel{-}= v \quad (\text{若 } r+1 < n)$$ 3. **单点查询**:通过前缀和还原原数组: $$arr[i] = \sum_{k=0}^{i} diff[k]$$ 4. **区间求和**:需要预处理前缀和数组,时间复杂度为 $O(n)$,适合离线场景。 **代码示例**: ```python class DifferenceArray: def __init__(self, length): self.diff = [0] * (length + 1) # 差分数组 def range_add(self, l, r, v): self.diff[l] += v if r + 1 < len(self.diff) - 1: self.diff[r + 1] -= v def get_result(self): arr = [0] * (len(self.diff) - 1) arr[0] = self.diff[0] for i in range(1, len(arr)): arr[i] = arr[i-1] + self.diff[i] return arr ``` --- #### **方法 2: 线段树(带延迟标记)** **适用场景**:需要在线处理(实时更新和查询),时间复杂度为 $O(\log n)$。 ##### 实现步骤 1. **构建线段树**:将数组划分为多个区间,每个树节点存储区间边界、区间和及延迟标记。 2. **区
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