数学建模_ARIMA模型+Matlab代码包教会使用,直接替换数据即可

原创已于 2024-11-05 20:40:52 修改

· 3.3k 阅读

63 ·

版权

文章标签：

#数学建模 #matlab

于 2024-11-05 20:35:02 首次发布

数学建模模型代码专栏收录该内容

9 篇文章

订阅专栏

ARIMA 模型简介

ARIMA（Auto-Regressive Integrated Moving Average）模型，是一种广泛应用于时间序列预测的统计学方法，特别适用于具有历史数据模式的预测问题。ARIMA 模型通过结合自回归(AR)、差分(I)、滑动平均(MA)三个组成部分，来捕捉和预测时间序列数据中的规律。其核心思想是：通过分析时间序列的历史数据，建立一个能够预测未来的数学模型。

1. ARIMA 模型的基本原理

ARIMA 模型的名称包含三个主要部分：

AR（Auto-Regressive，自回归）：自回归部分表示当前值与其过去值之间的关系。简单来说，它使用过去的观察值（通常是前几个时刻的数据）来预测当前值。
I（Integrated，差分）：差分操作用于消除时间序列中的趋势，使数据变得平稳。时间序列如果具有明显的趋势（如上升或下降），那么就需要通过差分将其转换为平稳序列，以便建模和预测。
MA（Moving Average，滑动平均）：滑动平均部分表示当前值与过去的预测误差之间的关系。它通过使用历史预测误差来调整当前预测，捕捉随机波动。

ARIMA 模型通常以 ARIMA(p, d, q) 的形式表示，其中：

p 是自回归（AR）部分的阶数，表示使用过去多少期的观测值。
d 是差分（I）部分的阶数，表示对数据进行多少次差分使其平稳。
q 是滑动平均（MA）部分的阶数，表示使用过去多少期的预测误差。

在 ARIMA 模型中，选择 p、d 和 q 的合适值是建模过程中非常关键的一步。通常，选择这些参数需要通过分析数据的自相关性和偏自相关性，或者通过模型的拟合结果来决定。

在我的代码中，通过以下方法自动确定了 ARIMA 模型的 p、d 和 q 参数：

1. 差分操作确定 d（差分阶数）

ARIMA 模型要求输入数据是平稳的，因此需要通过差分操作使数据平稳。差分操作的阶数 d 是通过单位根检验（ADF 检验）来确定的。在代码中，首先进行了去趋势操作，去除掉数据中的趋势部分。然后，通过 adftest 函数来判断数据是否平稳。如果数据是非平稳的，则进行差分操作，并再次使用 adftest 来检查是否平稳。直到数据变得平稳为止。具体操作如下：

[H, PValue, TestStat, CriticalValue] = adftest(TempData); % 进行单位根检验
difftime = 0;
SaveDiffData = [];
while ~H
    % 如果数据非平稳，则进行差分操作
    SaveDiffData = [SaveDiffData, TempData(1, 1)];
    TempData = diff(TempData); % 一次差分
    difftime = difftime + 1; % 记录差分次数
    [H, PValue, TestStat, CriticalValue] = adftest(TempData); % 进行平稳性检验
end

这里，adftest 进行的是 Augmented Dickey-Fuller (ADF) 检验，检查时间序列是否存在单位根（即是否是平稳的）。如果 H = 0 表示数据非平稳，就会进行差分，直到数据平稳为止。d 的值即为差分次数 difftime。

2. 确定 p 和 q（自回归和滑动平均阶数）

接下来，你通过 AIC（Akaike 信息准则） 和 PACF（偏自相关函数）、ACF（自相关函数） 来选择最优的 p 和 q 阶数。你采用了 ARMAX 模型的 AIC 值来评估模型的好坏，选择 AIC 最小的阶数组合作为最终的 p 和 q。

具体实现方式如下：

test = [];
% 自回归对应PACF, 给定滞后长度上限p和q
for p = 0:5
    % 移动平均对应ACF
    for q = 0:5
        if (p + q ~= 0)
            m = armax(TempData, [p q]);  % 训练 ARMAX 模型
            AIC = aic(m);  % 计算 AIC 值
            test = [test; p q AIC];  % 将阶数和对应的 AIC 值保存
        end
    end
end

% 选择 AIC 值最小的模型
for k = 1:size(test, 1)
    if test(k, 3) == min(test(:, 3))
        p_test = test(k, 1);  % 选择 p 的值
        q_test = test(k, 2);  % 选择 q 的值
        break;
    end
end

在这段代码中，首先通过双重循环遍历所有可能的 p 和 q 阶数组合（在这里分别设置为 0 到 5）。每次组合，通过 armax 函数训练 ARMAX 模型并计算其 AIC 值。然后，将每组 p、q 和对应的 AIC 值存储在 test 数组中。最终，选择具有最小 AIC 值的 p 和 q 作为模型的阶数。

2. ARIMA 模型的应用条件

ARIMA 模型适用于以下情况：

平稳性：ARIMA 模型要求时间序列是平稳的，即其统计特性（如均值、方差等）随时间变化而不发生显著变化。如果数据具有趋势或季节性，可以通过差分操作将其转化为平稳序列。
自相关性：ARIMA 模型能够捕捉数据中的自相关性，即过去数据与当前数据之间的关系。这使得 ARIMA 特别适用于那些时间序列值与其历史值密切相关的情况。

3. ARIMA 模型的建模步骤

建立 ARIMA 模型的过程通常包括以下几个步骤：

3.1 数据预处理

在应用 ARIMA 模型之前，首先需要对时间序列数据进行预处理。主要步骤包括：

去趋势化：去除数据中的长期趋势（如果存在），使数据变得更加平稳。
差分操作：如果数据是非平稳的（例如，存在趋势性），则需要通过差分操作将其转换为平稳序列。差分的目的是消除时间序列中的趋势性，使其均值和方差不随时间变化。

3.2 检查平稳性

使用单位根检验（如 ADF 检验）来判断时间序列是否已经平稳。如果时间序列非平稳，需要进一步进行差分操作，直到数据变得平稳。

3.3 确定模型的阶数

ARIMA 模型的核心是选择合适的 p、d 和 q 值。可以通过以下方式来选择这些参数：

ACF（自相关函数）和 PACF（偏自相关函数）：这些函数可以帮助识别 AR 和 MA 阶数的合适选择。
AIC（Akaike 信息准则）：通过计算不同阶数模型的 AIC 值来选择最佳的模型阶数。通常选择 AIC 值最小的模型。

3.4 模型拟合

在选择了合适的 p、d 和 q 后，使用最大似然估计（MLE）方法来估计模型参数，并拟合 ARIMA 模型。拟合后的模型可以用于预测。

3.5 模型预测

使用拟合好的 ARIMA 模型进行预测。可以使用模型来预测未来的时序数据。通常分为两类预测：

点预测：直接预测未来某个时刻的值。
区间预测：给出未来值的预测区间，提供更为灵活的预测结果。

3.6 模型评估

在模型训练完成后，需要对模型进行评估。常用的评估指标包括：

均方根误差（RMSE）：衡量预测值与实际值之间的差异，值越小表示预测效果越好。
R2 值：表示模型对数据的拟合优度，值越接近 1 表示模型拟合效果越好。
MAPE（平均绝对百分比误差）：衡量预测误差相对于实际值的比例，值越小说明预测精度越高。

4. ARIMA 模型的优势与局限性

4.1 优势

简单有效：ARIMA 模型结构简单，容易理解，并且能够处理非平稳时间序列数据，适用于多种实际应用场景。
强大的自回归能力：通过利用历史数据进行预测，ARIMA 模型能够捕捉到数据中的长期依赖关系。
广泛应用：ARIMA 模型在金融市场、气象预测、销售预测、股票分析等领域有着广泛的应用。

4.2 局限性

对季节性数据不敏感：ARIMA 模型适用于非季节性数据，对于季节性数据，ARIMA 模型可能需要进行扩展（例如 SARIMA，季节性 ARIMA）。
需要平稳性：ARIMA 模型要求输入数据必须是平稳的。如果数据是非平稳的，必须进行差分，或者通过其他方法进行处理。
无法捕捉非线性关系：ARIMA 模型本身假设数据的线性关系，对于复杂的非线性关系，ARIMA 可能表现不佳。

5. ARIMA 模型的扩展

对于季节性时间序列数据，ARIMA 模型可以扩展为 SARIMA（Seasonal ARIMA）模型。SARIMA 模型在 ARIMA 的基础上增加了季节性成分，能够处理带有季节性周期的时间序列数据。

此外，随着机器学习和深度学习的发展，越来越多的复杂模型（如 LSTM、GRU、Prophet 等）也被应用于时间序列预测任务，ARIMA 作为传统统计方法，在某些场景下仍然是非常有用的工具。

6. 结论

ARIMA 模型是时间序列预测中常用的基础模型，它通过自回归、差分和滑动平均成分来捕捉数据中的模式。尽管 ARIMA 有一些局限性，但它仍然是许多预测任务中的有效工具，尤其是在数据相对简单且平稳时。通过合理选择模型的参数和对数据进行预处理，ARIMA 模型能够在许多实际问题中提供有效的预测结果。

Matlab代码手把手教运行

为了帮助更多的萌新更快上手数学建模建等竞赛，这里直接手把手教会如何直接使用本文中的ARIMA代码：

代码全文：

warning off
close all
clear
clc
%%  导入数据
data=xlsread('data.xlsx');
%预报步长
step=24;
TempData=data;
  output=data;
%去趋势线
TempData=detrend(TempData);  
%趋势函数
TrendData=data-TempData;
%差分，平稳化时间序列
[H,PValue,TestStat,CriticalValue] = adftest(TempData);
difftime=0;
SaveDiffData=[];
while ~H
    %差分，平稳化时间序列
    SaveDiffData=[SaveDiffData,TempData(1,1)];
    TempData=diff(TempData);
    %差分次数
    difftime=difftime+1;
    %adf检验，判断时间序列是否平稳化
    [H,PValue,TestStat,CriticalValue] = adftest(TempData);
end
%模型定阶或识别
test = [];
%自回归对应PACF,给定滞后长度上限p和q
for p = 0:5
    %移动平均对应ACF
    for q = 0:5
        if(p + q ~= 0) 
            m = armax(TempData,[p q]);
            %armax(p,q),计算AIC
            AIC = aic(m);  
            test = [test;p q AIC];
        end
    end
end
for k = 1:size(test,1)
    %选择AIC值最小的模型
    if test(k,3) == min(test(:,3)) 
        p_test = test(k,1);
        q_test = test(k,2);
        break;
    end
end
%armax(p,q),[p_test q_test]对应AIC值最小
m   = armax(TempData,[p_test q_test]);       
ARIMA_Predict   = predict(m,TempData,step);
ARIMA_Forcast   = forecast(m,TempData,step);
PreR=[ARIMA_Predict' ARIMA_Forcast'];
%还原差分
if size(SaveDiffData,2)~=0
    for index=size(SaveDiffData,2):-1:1
        %差分还原
        PreR=cumsum([SaveDiffData(index),PreR]);
    end
end

%预测趋势并返回结果
TrendData=TrendData';
mp1=polyfit(1:size(TrendData,2),TrendData,1);
xt=[];
for j=1:step
    xt=[xt,size(TrendData,2)+j];
end
TrendResult=polyval(mp1,xt);
ARIMAoutput=[TrendData,TrendResult]+PreR;
ARIMAoutput_Predict=ARIMAoutput(1:end-step)';
ARIMAoutput_Forcast=ARIMAoutput(end-step+1:end)';
%% 数据输出
error=ARIMAoutput_Predict-output;
pererror=error./output;
avererror=sum(abs(error))/length(error);
averpererror=sum(abs(pererror))/length(pererror);
RMSE  = sqrt(mean((error).^2));
R2 = 1 - norm(error)^2 / norm(ARIMAoutput_Predict - mean(ARIMAoutput_Predict))^2;
disp('ARIMA模型预测平均绝对误差MAE');
disp(avererror)
disp('ARIMA模型预测平均绝对误差百分比MAPE');
disp(averpererror)
disp('ARIMA模型预测均方根误差RMSE')
disp(RMSE)
disp('ARIMA模型预测均方根误差R2')
disp(R2)
disp('未来年预报')
disp(ARIMAoutput_Forcast)

%% 可视化
figure
plot(ARIMAoutput,':.','linewidth',2);
hold on
plot(data,'g--','linewidth',2);
legend('预测值', '实际值','Location','NorthWest')
title('ARIMA模型预测')
xlabel('时间')
ylabel('结果')
axis tight
hold off
set(gcf,'color','w')
%-------------------------------------------------------------------------------------
figure
subplot(2,1,1)
autocorr(data)
subplot(2,1,2)
parcorr(data)
set(gcf,'color','w')
%-------------------------------------------------------------------------------------
figure()
plot(pererror,'-.','Color',[128 0 255]./255,'linewidth',2)                
legend('ARIMA模型预测相对误差','Location','NorthEast','FontName','华文宋体')
title('ARIMA模型相对误差图','fontsize',12,'FontName','华文宋体')
ylabel('误差','fontsize',12,'FontName','华文宋体')
xlabel('样本','fontsize',12,'FontName','华文宋体')
axis tight
set(gcf,'color','w')
%-------------------------------------------------------------------------------------
figure();
histogram(error);
title(['Error Mean = ' num2str(mean(error)) ', Error StD = ' num2str(std(error))]);
xlabel('Error Histogram');
set(gcf,'color','w')

data.xlsx格式如下：

数据
112.3
118.5
132
129
121
135
148
148
136
119
104
118
115
126
141
135
125

表格只有一列数据，第一行为“数据”两字，从第二行开始放入时间序列数据即可！