【概率论第一章：随机事件与概率】

概率论

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以下是本篇内容介绍
概率的基础概念以及常用公式，基本模型。
重点:

• 四大公式使用，即加法公式，减法公式，乘法公式(事件独立)以及条件概率公式。
• 全概率公式和贝叶斯公式。
• 古典概型，几何概型，伯努利概型。

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1. 基本概念

1.1 随机试验

随机试验是指在相同条件下可重复进行的实验，其所有可能的结果或结果所在的范围是已知的。

1.2 样本空间和样本点

• 样本空间（Sample Space）记为 $\Omega$，表示所有可能结果的集合。
• 样本点（Sample Point）记为 $\omega$，是样本空间中的一个具体结果。

1.3 随机事件

随机事件是样本空间的子集。

• 必然事件：$\Omega$，即样本空间本身。
• 不可能事件：$\varnothing$，即空集。

1.4 事件的包含关系

• 包含：$A\subset B$ 表示事件 $A$ 包含于事件 $B$。事件A发生那么事件B一定发生。
• 相等：$A=B$ 表示事件 $A$ 与事件 $B$ 相等。
• 交集：$A\cap B或者AB$ 表示事件 $A$ 与事件 $B$ 同时发生。
• 并集：$A\cup B或者A+B$ 表示事件 $A$ 或事件 $B$ 发生，“A与B至少发生一个(包含同时发生)”
• 差集：$A-B$ 表示事件 $A$ 发生但事件 $B$ 不发生。

1.5 特殊事件

• 互斥事件：$A\cap B=\varnothing$，即事件 $A$ 与事件 $B$ 不可能同时发生。
• 对立事件：$\overline{A}=\Omega -A$，即事件 $A$ 的对立事件。
  $A\cup B=\Omega 且A\cap B=\varnothing$

1.6 事件的运算规律

若 $A\subset B$，则
$$A\cup B=B,A\cap B=A$$
运算具有交换律和结合律：
$$A\cup B=B\cup A,A\cap B=B\cap A$$
$$A\cup (B\cup C)=(A\cup B)\cup C$$
$$A\cap (B\cap C)=(A\cap B)\cap C$$
分配律：
$$A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$$
$$A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)$$
德摩根律：
A ∪ B ‾ = A ‾ ∩ B ‾ A ∩ B ‾ = A ‾ ∪ B ‾ \overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B} \\ \overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B} A∪B=A∩B