概率论

本文介绍了概率论的公理化历程,从早期的赌博问题到20世纪的概率论奠基工作。概率论起源于16世纪的赌博问题,经过惠更斯、帕斯卡、伯努利等人的研究逐渐发展。雅各布·伯努利的《猜测述》奠定了概率论的基础,提出了大数定律。拉普拉斯的工作开启了概率论的分析时代,引入了概率的古典定义。19世纪末,概率论面临逻辑基础的挑战,伯恩斯坦和冯·米西斯尝试公理化,而科尔莫戈罗夫的1933年著作《概率论基础》最终确立了概率论的现代公理化体系。

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公理化概率论
概率论的公理化,是20世纪数学抽象化的又一大硕果。
(一)20世纪以前的概率论
[
惠更斯的问题
两人玩掷双骰游戏,骰子的点数和为7时甲赢,为6时乙赢,为其它时两人平分赌注,求两人的期望(机会的价值)。
定义:设离散型r.v.X的分布律为:P{X=x_k}=p_k,k=1,2,…,若级数∑[k=1->∞]|x_k|p_k<+∞,则称级数∑[k=1->∞]x_kp_k的和为随机变量的数学期望,记作E(X),即E(X)= ∑[k=1->∞]x_kp_k。
我们知道随机变量X可能取各种不同的数值,但我们往往希望知道X所取值的大多数集中在何处,能够粗略地反映这种特征的就是数学期望。
定义:设离散型随机变量X的分布律为P{X=x_k}=p_k,k=1,2,…。若级数∑[k=1->∞]x_kp_k绝对收敛,则称级数∑[k=1->∞]x_kp_k的和为随机变量X的数学期望或均值,记为E(X)。
即E(X)=∑[k=1->∞]x_kp_k。若级数∑[k=1->∞]|x_kp_k|发散,则称随机变量X的数学期望不存在。----为什么要用绝对收敛??
设连续型随机变量X的概率密度为f(x),若积分∫[-∞,+∞]xf(x)dx绝对收敛,则称积分∫[-∞,+∞]xf(x)dx的值为随机变量X的数学期望或均值,记为E(X)。即E(X)= ∫[-∞,+∞]xf(x)dx。若积分∫[-∞,+∞]xf(x)dx不绝对收敛,则称随机变量X的数学期望不存在。----为什么要用绝对收敛??
设随机变量X服从柯西分布,其概率密度为f(x)=1/(pi(1+x^2)) ,(-∞<x<+∞),求E(X)= ∫[-∞,+∞](x/(pi(1+x^2)))dx
由于广义积分∫[-∞,+∞](|x|/(pi(1+x^2)))dx发散(即不绝对收敛),所以E(X)不存在。

概率论起源于博弈问题。15-16世纪意大利数学家帕乔利(L.Pacioli)、塔塔利亚和卡尔丹的著作中曾讨论过“如果两人赌博提前结束,该如何分配赌金”等
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