概率论

最新推荐文章于 2022-12-02 09:20:45 发布

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本文介绍了概率论的公理化历程，从早期的赌博问题到20世纪的概率论奠基工作。概率论起源于16世纪的赌博问题，经过惠更斯、帕斯卡、伯努利等人的研究逐渐发展。雅各布·伯努利的《猜测述》奠定了概率论的基础，提出了大数定律。拉普拉斯的工作开启了概率论的分析时代，引入了概率的古典定义。19世纪末，概率论面临逻辑基础的挑战，伯恩斯坦和冯·米西斯尝试公理化，而科尔莫戈罗夫的1933年著作《概率论基础》最终确立了概率论的现代公理化体系。

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公理化概率论
概率论的公理化，是20世纪数学抽象化的又一大硕果。
（一）20世纪以前的概率论
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惠更斯的问题
两人玩掷双骰游戏，骰子的点数和为7时甲赢，为6时乙赢，为其它时两人平分赌注，求两人的期望（机会的价值）。
定义：设离散型r.v.X的分布律为：P{X=x_k}=p_k,k=1,2,…，若级数∑[k=1->∞]|x_k|p_k<+∞，则称级数∑[k=1->∞]x_kp_k的和为随机变量的数学期望，记作E(X)，即E(X)= ∑[k=1->∞]x_kp_k。
我们知道随机变量X可能取各种不同的数值，但我们往往希望知道X所取值的大多数集中在何处，能够粗略地反映这种特征的就是数学期望。
定义：设离散型随机变量X的分布律为P{X=x_k}=p_k,k=1,2,…。若级数∑[k=1->∞]x_kp_k绝对收敛，则称级数∑[k=1->∞]x_kp_k的和为随机变量X的数学期望或均值，记为E(X)。
即E(X)=∑[k=1->∞]x_kp_k。若级数∑[k=1->∞]|x_kp_k|发散，则称随机变量X的数学期望不存在。----为什么要用绝对收敛？？
设连续型随机变量X的概率密度为f(x)，若积分∫[-∞,+∞]xf(x)dx绝对收敛，则称积分∫[-∞,+∞]xf(x)dx的值为随机变量X的数学期望或均值，记为E(X)。即E(X)= ∫[-∞,+∞]xf(x)dx。若积分∫[-∞,+∞]xf(x)dx不绝对收敛，则称随机变量X的数学期望不存在。----为什么要用绝对收敛？？
设随机变量X服从柯西分布，其概率密度为f(x)=1/(pi(1+x^2)) ，（-∞<x<+∞），求E(X)= ∫[-∞,+∞](x/(pi(1+x^2)))dx
由于广义积分∫[-∞,+∞](|x|/(pi(1+x^2)))dx发散（即不绝对收敛），所以E(X)不存在。
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概率论起源于博弈问题。15-16世纪意大利数学家帕乔利（L.Pacioli）、塔塔利亚和卡尔丹的著作中曾讨论过“如果两人赌博提前结束，该如何分配赌金”等