35. 搜索插入位置

思路：

​1. 二分查找的边界调整逻辑

在二分查找过程中，left 和 right 指针不断调整，将搜索范围缩小到目标值可能存在的区间。具体规则如下：

• 若中间值 nums[mid] ​小于 目标值 target，说明目标值在右半区，需将 left 移动到 mid + 1；
• 若中间值 nums[mid] ​大于 目标值 target，说明目标值在左半区，需将 right 移动到 mid - 1；
• 若相等，直接返回 mid。

关键点：循环结束时，left 和 right 指针的关系满足 left > right，此时搜索区间已完全闭合。

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​2. 循环结束时的指针状态

当循环终止时（即 left > right）：

• ​所有小于 target 的元素：均位于 left 指针左侧；
• ​所有大于 target 的元素：均位于 left 指针右侧；
• ​插入位置：left 指针指向第一个大于 target 的元素位置，而 right 指针指向最后一个小于 target 的元素位置。

示例：数组 [1, 3, 5, 6] 中查找 target = 2：

1. 第一次循环：mid = 1（值 3），因 3 > 2，right 移动到 0；
2. 第二次循环：left = 0，right = 0，mid = 0（值 1），因 1 < 2，left 移动到 1；
3. 循环结束，left = 1，即插入位置为索引 1（正确结果）。

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​3. 数学归纳与指针行为

• ​最后一次循环的两种情况：
  1. ​数组中剩一个元素：left == right == mid。若 nums[mid] < target，left 移动到 mid + 1，此时 left 即为插入位置；若 nums[mid] > target，right 移动到 mid - 1，left 仍指向插入位置。
  2. ​数组中剩两个元素：通过调整后，最终仍会收敛到上述逻辑。

本质：无论目标值是否存在于数组中，left 始终指向第一个大于 target 的位置，而 right 指向最后一个小于 target 的位置。因此，插入位置应为 left。

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​4. 时间复杂度与正确性

• ​时间复杂度：O(log n)，每次循环将搜索范围减半
  。
• ​正确性保证：通过边界调整和指针移动，left 最终指向的位置满足有序数组插入后仍保持升序
  。

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​总结

left 指针的最终位置反映了以下性质：

• ​所有左侧元素 ≤ target；
• ​所有右侧元素 ≥ target。