10-红黑树

BinaryWiker

于 2025-08-05 17:11:30 发布

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分类专栏：竞赛--数据结构篇文章标签：算法

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1. 二叉搜索树

1.1. 概念

二叉搜索树: 左子树上所有节点值均小于根值, 右子树所有节点值均大于根值的特殊二叉树.

1.2. 增删改查

如果删除的是二叉树的叶子节点 -> 直接删除

若被删除结点只有一颗左子树或右子树，则让的子树成为父结点的子树，替代的位置 -> 把孩子托付给父节点即可.

若结点x既有左子树，又有右子树。

1. 令 x 的直接后继替代，然后从二叉搜索树中删去这个直接后继；注: 后继是指中序的下一个节点或右子树最左节点
2. 令 x 的直接前驱替代，然后从二叉搜索树中删去这个直接前驱。注: 前驱是指中序的上一个节点或左子树最右节点

问题: 一般二叉搜索树高度依赖建树序列, 在有序情况下, 搜索效率直接退化为链表.

2. 平衡二叉树(AVL树)

2.1. AVL树

平衡二叉树(AVL树): 左右子树高度差不超过1的二叉搜索树.

平衡因子: 为了刻画一棵树是否满足平衡条件的参考值, 平衡树 b ∈ { 1, 0, -1}

最小不平衡树: 新插入节点与最近的b ∉ { 1, 0, -1}的根所构成的子树

2.2. AVL的旋转

2.2.1. LL型-右单旋

LL表示：新结点由于插入在T结点的左孩子(L)的左子树(LL)中，从而导致失衡。

将结点L向右上旋转代替结点T作为根结点；
将节点T向右下旋转作为结点L的右子树的根结点；
结点L的原右子树(LR)则作为结点T的左子树。

2.2.2. RR型-左单旋

RR表示：新结点由于插入在T结点的右孩子(R)的右子树(RR)中，从而导致失衡。

将结点R向左上旋转代替结点T作为根结点；
将节点T向左下旋转作为结点R的左子树的根结点；
结点R的原左子树(RL)则作为结点T的右子树。

2.2.3. LR型-左右双旋

LR表示：新结点由于插入在T结点的左孩子(L)的右子树(LR)中，从而导致失衡。

将 LR左旋：

将结点LR向左上旋转代替结点L作为根结点；
将节点L向左下旋转作为结点LR的左子树的根结点；
结点LR的原左子树(LRL)则作为结点L的右子树。

将LR右旋：

将结点LR向右上旋转代替结点T作为根结点；
将节点T向右下旋转作为结点LR的右子树的根结点；
结点LR的原右子树(LRR)则作为结点T的左子树。

2.2.4. RL型-右左双旋

RL表示：新结点由于插入在T结点的右孩子(R)的左子树(RL)中，从而导致失衡。

将 RL右旋：

将结点RL向右上旋转代替结点R作为根结点；
将节点R向右下旋转作为结点RL的右子树的根结点；
结点RL的原右子树(RLR)则作为结点R的右子树。

将RL左旋：

将结点RL向左上旋转代替结点T作为根结点；
将节点T向左下旋转作为结点RL的左子树的根结点；
结点RL的原左子树(RLL)则作为结点T的右子树。

2.3. AVL树的删除

根据二叉搜索树中的规则删除节点
找到最小不平衡树, 然后进行旋转使得这棵树平衡
继续向上搜索祖先节点是否还有不平衡点, 重复1~2步骤

3. 红黑树

3.1. 概念

红黑树: 每条路径(包括null节点)差值不超过两倍的近似平衡的二叉树.

3.2. 规则

非红即黑: 每个结点要么是红色要么是黑色；
两端均黑: 根节点和叶子结点(这里的叶子结点不是常规意义上的叶子结点，而是空结点，如下图中的NIL)是黑色的；
红不相连: 如果一个结点是红色的，则它的两个孩子结点必须是黑色的，也就是说任意一条路径不会有连续的红色结点；
黑数相同: 对于任意一个结点，从该结点到其所有叶子的路径上，均包含相同数量的黑色结点。

3.3. 性质

从根结点到叶结点的最长路径不大于最短路径的2倍。
有 n 个结点的红黑树，高度 h ≤ 2log2(n +1), 也就是说查找时间复杂度为O(logN）

3.4. 插入

情况一：插入的是根节点
这是第一次插入结点，直接将结点的颜色变成黑色即可

情况二：叔叔是红色
父亲、叔叔和爷爷同时变色，然后将爷爷看做新插入的结点，继续向上判断。
情况三：叔叔是黑色

1. LL型(新结点是爷爷的左孩子的左孩子): 右单旋+父爷变色
2. RR型(新结点是爷爷的右孩子的右孩子)-左单旋+父爷变色
3. LR型(新结点是爷爷的左孩子的右孩子)-左右双旋+儿爷变色
4. RL型(新结点是爷爷的右孩子的左孩子)-右左双旋+儿爷变色

4. STL -- set/mutilset 与 map/mutilmap

set: 底层红黑树实现, 存储的是k值, 不允许存储相同值
mutilset: 底层红黑树实现, 存储的是k值, 允许存储相同值

#include <iostream>
#include <set>

using namespace std;

int a[] = {10, 60, 20, 70, 80, 30, 90, 40, 100, 50};

int main()
{
    set<int> mp;

    // 插入
    for(auto x : a)
    {
        mp.insert(x);
    }

    // 遍历 set，最终的结果应该是有序的
    for(auto x : mp)
    {
        cout << x << " ";
    }
    cout << endl;

    // if(mp.count(1)) cout << "1" << endl;
    // if(mp.count(99)) cout << "99" << endl;
    // if(mp.count(30)) cout << "30" << endl;
    // if(mp.count(10)) cout << "10" << endl;

    // mp.erase(30);
    // mp.erase(10);

    // if(mp.count(30)) cout << "30" << endl;
    // else cout << "no:30" << endl;
    // if(mp.count(10)) cout << "10" << endl;
    // else cout << "no:10" << endl;

    auto x = mp.lower_bound(20);
    auto y = mp.upper_bound(20);

    cout << *x << " " << *y << endl;


    return 0;
}

map: 底层红黑树实现, 存储的是<k,v>值, 不允许存储相同值
mutilmap: 底层红黑树实现, 存储的是<k,v>值, 允许存储相同值

#include <iostream>
#include <map>

using namespace std;

void print(map<string, int>& mp)
{
    for(auto& p : mp)
    {
        cout << p.first << " " << p.second << endl;
    }
}

// 统计一堆字符串中，每一个字符串出现的次数
void fun()
{
    string s;
    map<string, int> mp; // <字符串，字符串出现的次数>

    for(int i = 1; i <= 10; i++)
    {
        cin >> s;
        mp[s]++; // 体现了 operator 的强大
    }

    print(mp);

}

int main()
{
    fun();

    // map<string, int> mp;

    // // 插入
    // mp.insert({"张三", 1});
    // mp.insert({"李四", 2});
    // mp.insert({"王五", 3});

    // // print(mp);

    // // operator[] 可以让 map 像数组一样使用
    // cout << mp["张三"] << endl;
    // mp["张三"] = 110;
    // cout << mp["张三"] << endl;

    // // 注意事项：operator[] 有可能会向 map 中插入本不想插入的元素
    // // [] 里面的内容如果不存在 map 中，会先插入，然后再拿值
    // // 插入的时候：第一个关键字就是 [] 里面的内容，第二个关键字是一个默认值
    // if(mp.count("赵六") && mp["赵六"] == 4) cout << "yes" << endl;
    // else cout << "no" << endl;

    // // 删除
    // mp.erase("张三");

    // print(mp);


    return 0;
}

Lower_bound：大于等于x的最小元素，返回的是迭代器。时间复杂度：: O(log M)
upper_bound：大于x的最小元素，返回的是迭代器。时间复杂度：O(log M)

5. 算法习题

5.1. P2786 英语1（eng1）- 英语作文

用map统计词频

P2786 英语1（eng1）- 英语作文 - 洛谷

#include <iostream>
#include <map>

using namespace std;

typedef long long LL;

int n, p;
map<string, int> mp; // <高级词汇，含金量>

// 判断 ch 是否合法
bool check(char ch)
{
    if((ch >= '0' && ch <= '9') || (ch >= 'a' && ch <= 'z') || (ch >= 'A' && ch <= 'Z'))
    {
        return true;
    }
    else return false;
}

int main()
{
    cin >> n >> p;
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        string s; int x;
        cin >> s >> x;
        mp[s] = x; 
    }

    LL ret = 0;
    char ch; // 一个字符一个字符读
    string t = "";

    while(scanf("%c", &ch) != EOF)
    {
        if(check(ch)) t += ch;
        else
        {
            // 读到分隔符
            ret = (ret + mp[t]) % p;
            t = "";
        }
    }

    cout << ret << endl;

    return 0;
}

5.2. P2234 [HNOI2002] 营业额统计

用set找>=x的min值和 <x的max值

P2234 [HNOI2002] 营业额统计 - 洛谷

#include <iostream>
#include <set>

using namespace std;

const int INF = 1e7 + 10;

int n;
set<int> mp; // 存储 i 天之前的营业额

int main()
{
    cin >> n;
    int ret; cin >> ret;
    mp.insert(ret);

    // 左右护法 - 防止越界访问
    mp.insert(-INF); mp.insert(INF);

    for(int i = 2; i <= n; i++)
    {
        int x; cin >> x;

        // 找出距离 x 最近的那一个
        auto it = mp.lower_bound(x);
        auto tmp = it;
        tmp--;

        if(*it == x) continue;

        ret += min(abs(*tmp - x), abs(*it - x));
        mp.insert(x);
    }

    cout << ret << endl;

    return 0;
}

5.3. P5250 【深基17.例5】木材仓库

用set找>=x的min值和 <x的max值

P5250 【深基17.例5】木材仓库 - 洛谷

#include <iostream>
#include <set>

using namespace std;

typedef long long LL;

const LL INF = 1e10 + 10;

set<LL> mp;

int main()
{
    int q; cin >> q;
    // 左右护法 - 处理边界情况
    mp.insert(-INF); mp.insert(INF);

    while(q--)
    {
        LL op, len; cin >> op >> len;

        if(op == 1) // 进货
        {
            if(mp.count(len)) cout << "Already Exist" << endl;
            else mp.insert(len);
        }
        else // 出货
        {
            if(mp.size() == 2)
            {
                cout << "Empty" << endl;
            }
            else
            {
                // 找到距离 len 最近的那一个  
                auto it = mp.lower_bound(len);
                auto tmp = it;
                tmp--;

                if(abs(*tmp - len) <= abs(*it - len))
                {
                    cout << *tmp << endl;
                    mp.erase(tmp); // 别忘了删除
                }
                else
                {
                    cout << *it << endl;
                    mp.erase(it);
                }
            }
        }
    }


    return 0;
}