MATLAB | 第四章 | MATLAB的高等数学计算 | 基础

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#matlab #算法 #学习 #高等计算 #例题

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4.1 求极限

limit(f,x,a)	求符号函数f(x)趋近于a极限值
limit(f,a)	求符号函数f(x)趋近于a极限值
limit(f)	求符号函数f(x)的极限值【默认趋近于0】

limit(f,x,a,’right’)	从右边趋近极限值
limit(f,x,a,’left’)	从左边趋近极限值
limit(f,x,a,’inf’)	变量x趋近于无穷

练习

syms x

f1=(x*(exp(sin(x))+1)-2*(exp(tan(x))-1))/sin(x)^3

f=limit(f1,x,0)

4.2求导数

diff(s)	默认变量进行一阶导数
diff(s,v)	以v为自变量，对符号表达式s求导
diff(s,n)	对符号表达式s求n阶导
diff(s,v,n)	以v为自变量，对符号表达式s求n阶导

4.3求积分

4.3.1使用int()求积分

int(s)	按照默认变量对符号变量s进行不定积分
int(s,v)	以v为自变量，对s求不定积分
int(s,v,a,b)	以v为自变量，对s求积分，a为下限，b为上限

练习

syms x

f1=2*x;

f=int(f1,x,1,2)

4.4 0点与极值

4.4.1求0点

x=fzero(fun,x0)	离x0起始点最近的根
x=fzero(fun,x0,options)	由指定的优化参数options进行最小化
x=fzero(problem)	对problem指定的问题求解

练习

syms x

fun1=@sin

fun2=@cos

x=fzero(fun1,3)

y=fzero(fun2,[1 2]) 在1-2之间的0点

syms x

f1='x^5-3*x^4+2*x^2+x+3';

x=fzero(f1,0)

syms x

f1=@(x) x^5-3*x^4+2*x^2+x+3;

x=fzero(f1,0)

fzero 是一个数值求解器，需要传入一个句柄函数或字符串表达式，而不是符号表达式

4.4.2求极值

[x,min]=fminbnd(f,a,b)

x为取得最小值的点，min为极小值，f为函数

a，b表示取得的极值范围

此时的f需要传入函数句柄，如f=@(x)=……

4.5 求方程

4.5.1线性方程组求解solve()

使用左除\求解

syms x

a = [1 1 1; 3 -1 6; 0 1 3];

b = [1; 7; 4];

format rat % 设置输出为分数形式

x = a \ b % 求解线性方程组并以分数显示

% 此处syms可省略，因未涉及符号运算

使用solve()函数求解

syms x y z

g1=x+y+z==1; g2=x-y+z==2; g3=2*x-y-z==1;

[x,y,z]=solve(g1,g2,g3)

4.5.2符号代数方程求解solve()

solve(f,参数)	solve(f1,f2,…,fn)
f：含等号=符号表达式方程，不含等号的符号表达式

练习

对方程f1=ax2+bx+c, f2=x2-x-30求解

syms a b c x

f1=a*x^2+b*x+c; f2=x^2-x-30;

fx=solve(f1,x);

fa=solve(f1,a);

f2=solve(f2,x)

4.5.3常微分方程组求解dsolve()

定义：MATLAB中，

diff(y,x)：y’

diff(y,x,2)：y’’

Dy(0)=5表示y’(0)=5

dsolve()	求解
dsolve(e,c,v)	求解常微分方程e在初值条件c下的特解，其中参数v描述自变量，省略是默认为t
dsolve(e1,e2,…,en,c1,…cn,v1,v2,…vn)	求解常微分方程组

练习

syms y(x)

e1=diff(y,x)==-2*x*y+x*exp(-x^2)

y1=dsolve(e1) % y1=dsolve(e1,x)

如果是两个变量，则[变量1值，变量2值]=dsolve(eq1,eq2……)

4.6 函数拟合与插值

插值方法	线性插值
	多项式插值
	样条插值-通常三次样条

%%线性插值法-样条插值法对数据进行拟合

x=1:5; y=[3 5 4 6 2]; xi=1:0.1:5;

y_1=interp1(x,y,xi,'linear') y_2=interp1(x,y,xi,'spline')

plot(x,y,'o',xi,y_1,'-',xi,y_3,'--')

例题1：极限计算

问题：计算以下极限： 1. ( {x } ) 2. ( {x } (1 + )^x )

代码实现：

syms x % 定义符号变量
% 极限1：sin(x)/x 在x→0时的极限
limit1 = limit(sin(x)/x, x, 0);
% 极限2：(1+2/x)^x 在x→∞时的极限
limit2 = limit((1 + 2/x)^x, x, Inf);
% 显示结果
disp('极限1结果:');
disp(limit1);
disp('极限2结果:');
disp(limit2);

结果说明：
极限1结果为 1（重要极限），极限2结果为 exp(2)（即 ( e^2 )）。

例题2：导数与高阶导数

问题：已知 ( f(x) = x^2 e^{2x} )，求： 1. 一阶导数 ( f’(x) ) 2. 二阶导数 ( f’’(x) ) 3. 在 ( x=1 ) 处的导数值

代码实现：

syms x
f = x^2 * exp(2*x); % 定义函数
% 一阶导数
f1 = diff(f);
% 二阶导数
f2 = diff(f, 2); % 第二个参数指定导数阶数
% x=1处的导数值
f1_val = subs(f1, x, 1);
% 显示结果
disp('一阶导数:');
disp(f1);
disp('二阶导数:');
disp(f2);
disp('x=1处的一阶导数值:');
disp(f1_val);

结果说明：
一阶导数为 ( 2x e^{2x} + 2x^2 e^{2x} )，二阶导数为 ( 2e^{2x} + 8x e^{2x} + 4x^2 e^{2x} )，( x=1 ) 处导数值为 ( 4e^2 )。

例题3：定积分与反常积分

问题：计算： 1. 定积分 ( _0^{} (x x) dx ) 2. 反常积分 ( _0^{} e^{-x} dx )

码实现：

syms x
% 定积分：x*sin(x)从0到π
int1 = int(x*sin(x), x, 0, pi);
% 反常积分：e^(-x)从0到∞
int2 = int(exp(-x), x, 0, Inf);
% 显示结果
disp('定积分结果:');
disp(int1);
disp('反常积分结果:');
disp(int2);

结果说明：
定积分结果为 ( )，反常积分结果为 1（指数函数的无穷积分收敛）。

例题4：多重积分

问题：计算二重积分 ( _D (x^2 + y^2) dxdy )，其中 ( D ) 是由 ( x )，( y ) 围成的矩形区域。

代码实现：

syms x y
% 被积函数
f = x^2 + y^2;
% 二重积分：先对y积分（0到2），再对x积分（0到1）
int_double = int(int(f, y, 0, 2), x, 0, 1);
% 显示结果
disp('二重积分结果:');
disp(int_double);

结果说明：
计算结果为 ( )（分步积分：先对 ( y ) 积分得 ( 2x^2 + )，再对 ( x ) 积分得结果）。

例题5：常微分方程求解

问题：求解微分方程 ( y’’ + 2y’ + y = 0 )，并求满足初始条件 ( y(0)=1 )，( y’(0)=0 ) 的特解。

代码实现：

syms y(x) % 定义符号函数
% 微分方程：y'' + 2y' + y = 0
eqn = diff(y, 2) + 2*diff(y) + y == 0;
% 通解
sol_general = dsolve(eqn);
% 特解（带初始条件）
cond1 = y(0) == 1;
cond2 = diff(y)(0) == 0;
sol_specific = dsolve(eqn, [cond1, cond2]);
% 显示结果
disp('通解:');
disp(sol_general);
disp('特解:');
disp(sol_specific);

结果说明：
通解为 ( y(x) = C_1 e^{-x} + C_2 x e^{-x} )，特解为 ( y(x) = e^{-x} + x e^{-x} )（代入初始条件求得常数 ( C_1=1, C_2=1 )）。

例题6：数值积分（复杂函数）

问题：用数值方法计算 ( _0^1 dx )（被积函数在0处有极限，适合数值计算）。

代码实现：

% 定义被积函数（匿名函数）
f = @(x) sin(x.^2) ./ x;
% 处理x=0处的奇点（补充定义为0的极限值0）
f = @(x) (x == 0) .* 0 + (x ~= 0) .* sin(x.^2) ./ x;
% 数值积分（自适应辛普森法）
result = integral(f, 0, 1);
% 显示结果
disp('数值积分结果:');
disp(result);