不同路径不同路径|| 整数拆分-优快云博客

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1.一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角。

问总共有多少条不同的路径？

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int find(int m,int n)
{
   vector<vector<int>> dp(m,vector<int>(n,0));
   for(int i=0;i<m;i++)
   {
       dp[i][0]=1;
   }
   for(int j=0;j<n;j++)
   {
       dp[0][j]=1;
   }
   for(int i=1;i<m;i++)
   {
       for(int j=1;j<n;j++)
       {
           dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1];
       }
   }
   return dp[m-1][n-1];
}
int main()
{
   int t=find(3,7);
   cout<<t;
   return 0;
}

思路：

机器人从(0 , 0) 位置出发，到(m - 1, n - 1)终点。

按照动规五部曲来分析：

1.确定dp数组（dp table）以及下标的含义

dp[i][j] ：表示从（0 ，0）出发，到(i, j) 有dp[i][j]条不同的路径。

2.确定递推公式

想要求dp[i][j]，只能有两个方向来推导出来，即dp[i - 1][j] 和 dp[i][j - 1]。

此时在回顾一下 dp[i - 1][j] 表示啥，是从(0, 0)的位置到(i - 1, j)有几条路径，dp[i][j - 1]同理。

那么很自然，dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]，因为dp[i][j]只有这两个方向过来。

3.dp数组的初始化

如何初始化呢，首先dp[i][0]一定都是1，因为从(0, 0)的位置到(i, 0)的路径只有一条，那么dp[0][j]也同理。

4.确定遍历顺序

这里要看一下递推公式dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]，dp[i][j]都是从其上方和左方推导而来，那么从左到右一层一层遍历就可以了。

这样就可以保证推导dp[i][j]的时候，dp[i - 1][j] 和 dp[i][j - 1]一定是有数值的。

5.举例推导dp数组

2.一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角。

现在考虑网格中有障碍物。那么从左上角到右下角将会有多少条不同的路径？

网格中的障碍物和空位置分别用 1 和 0 来表示。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int find(vector<vector<int>>& obstacle)
{
   int m=obstacle.size();
   int n=obstacle[0].size();
   if(obstacle[0][0]==1||obstacle[m-1][n-1]==1)
   return 0;
   vector<vector<int>> dp(m,vector<int>(n,0));
   for(int i=0;i<m&&obstacle[i][0]==0;i++)
   {
       dp[i][0]=1;
   }
   for(int j=0;j<n&&obstacle[0][j]==0;j++)
   {
       dp[0][j]=1;
   }
   for(int i=1;i<m;i++)
   {
       for(int j=1;j<n;j++)
       {
           if(obstacle[i][j]==1)
           continue;
           dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1];
       }
   }
   return dp[m-1][n-1];
}
int main()
{
    vector<vector<int>> obstacle={{0,0,0},{0,1,0},{0,0,0}};
    int t=find(obstacle);
    cout<<t;
    return 0;
}

思路：

动规五部曲：

1.确定dp数组（dp table）以及下标的含义

dp[i][j] ：表示从（0 ，0）出发，到(i, j) 有dp[i][j]条不同的路径。

2.确定递推公式

递推公式dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]。这里需要注意一点，因为有了障碍，(i, j)如果就是障碍的话应该就保持初始状态（初始状态为0）。

3.dp数组如何初始化

从(0, 0)的位置到(i, 0)的路径只有一条，所以dp[i][0]一定为1，dp[0][j]也同理。

但如果(i, 0) 这条边有了障碍之后，障碍之后（包括障碍）都是走不到的位置了，所以障碍之后的dp[i][0]应该还是初始值0。下标(0, j)的初始化情况同理。

注意代码里for循环的终止条件，一旦遇到obstacleGrid[i][0] == 1的情况就停止dp[i][0]的赋值1的操作，dp[0][j]同理。

4.确定遍历顺序

从递归公式dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1] 中可以看出，一定是从左到右一层一层遍历，这样保证推导dp[i][j]的时候，dp[i - 1][j] 和 dp[i][j - 1]一定是有数值。

5.举例推导dp数组

3.给定一个正整数 n，将其拆分为至少两个正整数的和，并使这些整数的乘积最大化。返回你可以获得的最大乘积。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int find(int n)
{
vector<int> dp(n+1);
dp[2]=1;
for(int i=3;i<=n;i++)
{
for(int j=1;j<i/2;j++)
{
dp[i]=max(dp[i],max(j*(i-j),j*dp[i-j]));
}
}
return dp[n];
}
int main()
{
int t=find(10);
cout<<t;
return 0;
}